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| Aufgabe | Es sei n [mm] \in \IN_{1}. [/mm] Überprüfen sie die folgenden Teilmengenauf Kompaktheit:
a) GL(n) = { A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] : det A [mm] \not= [/mm] 0 } c [mm] \IR^{n \times n}
[/mm]
b) SL(n) = { A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] : det A = 1 } c [mm] \IR^{n \times n}
[/mm]
c) O(n) = { A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] : [mm] A^{T}*A [/mm] = [mm] E_{n} [/mm] } c [mm] \IR^{n \times n}
[/mm]
d) U(n) = { [mm] A\in \IC^{n \times n} [/mm] : A^* * A = [mm] E_{n}} [/mm] c [mm] \IC^{n \times n } [/mm] |
Hallo ihr lieben....
ich habe hier leider ein kleines Problem bei de ich nicht so recht weiss, wie ich das lösen soll.
Und zwar ist ja eine Teilmenge genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
nur wie prüfe ich bei einer Menge von Matrizen ob diese abgeschlossen bzw. beschränkt ist???
Ich habe mit bei der a) mal ein paar gedanken gemacht und zwar würde ich sagen, dass diese menge beschränkt ist durch die Matrizen deren Determinante gleich null ist.
Ist das soweit korrekt?
Wenn ja wie mache ich dann bei der abgeschlossenheit weiter???
vielen lieben dank schonmal
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Ich habe mir jetzt noch einmal ein paar gedanken dazu gemacht und zwar bin ich bei der a) zu dem schluss gekommen, dass diese mege kompakt ist, vorrausgesetzt sie ist nach meiner meinung beschränkt wie ich es oben geschrieben habe.
Demnach ist auch die c) als untergruppe der a) kompakt.
Die b) ist nicht kompakt, da nicht abgeschlossen durch die matrizen, deren Determinante gleich null ist und die d) ist nicht kompakt, da aufgrund der tatsache, dass die unitäre nicht angeordnet werden kann, kein aussage über die beschränktheit möglich ist...
ist das soweit richtig???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Fr 18.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefanie!
> Ich habe mir jetzt noch einmal ein paar gedanken dazu
> gemacht und zwar bin ich bei der a) zu dem schluss
> gekommen, dass diese mege kompakt ist, vorrausgesetzt sie
> ist nach meiner meinung beschränkt wie ich es oben
> geschrieben habe.
Sie ist leider weder abgeschlossen (da sie offen ist) noch beschraenkt.
> Demnach ist auch die c) als untergruppe der a) kompakt.
Die c) ist kompakt, aber nicht aus diesem Grund.
> Die b) ist nicht kompakt, da nicht abgeschlossen durch die
> matrizen, deren Determinante gleich null ist
Sie ist nicht kompakt, aber sehr wohl abgeschlossen.
> und die d) ist
> nicht kompakt, da aufgrund der tatsache, dass die unitäre
> nicht angeordnet werden kann, kein aussage über die
> beschränktheit möglich ist...
Die d) ist kompakt. Das die komplexen Zahlen nicht angeordnet werden koennen tut hier nichts zu Sache; du musst eine Norm [mm] $\IC^{n \times n} \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] betrachten und damit argumentieren.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Fr 18.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefanie!
> Es sei n [mm]\in \IN_{1}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Überprüfen sie die folgenden
> Teilmengenauf Kompaktheit:
>
> a) GL(n) = { A [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm] : det A [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 } c
> [mm]\IR^{n \times n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> b) SL(n) = { A [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: det
> A = 1 } c [mm]\IR^{n \times n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> c) O(n) = { A [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm]
> : [mm]A^{T}*A[/mm] = [mm]E_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} c [mm]\IR^{n \times n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> d) U(n) = { [mm]A\in \IC^{n \times n}[/mm]
> : A^* * A = [mm]E_{n}}[/mm] c [mm]\IC^{n \times n }[/mm]
> Hallo ihr
> lieben....
>
> ich habe hier leider ein kleines Problem bei de ich nicht
> so recht weiss, wie ich das lösen soll.
> Und zwar ist ja eine Teilmenge genau dann kompakt, wenn
> sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Genau. Du solltest dir aber auch ueberlegen, was ''beschraenkt'' hier bedeutet. Auf [mm] $\IR^{n \times n}$ [/mm] gibt es verschiedene Normen (die jedoch alle aequivalent sind). Am einfachsten nimmst du die Maximumsnorm.
> nur wie prüfe ich bei einer Menge von Matrizen ob diese
> abgeschlossen bzw. beschränkt ist???
>
> Ich habe mit bei der a) mal ein paar gedanken gemacht und
> zwar würde ich sagen, dass diese menge beschränkt ist durch
> die Matrizen deren Determinante gleich null ist.
Teilmengen des [mm] $\IR^{n \times n}$ [/mm] sind durch reelle Zahlen (bzgl. einer Norm) beschraenkt, und nicht durch Mengen von Matrizen.
Erstmal kannst du bei (a) und (b) etwas ueber die Offenheit/Abgeschlossenheit sagen:
Betrachte die stetige Funktion [mm] $\det [/mm] : [mm] \IR^{n \times n} \to \IR$ [/mm] und beachte, das Urbilder von offenen bzw. abgeschlossenen Mengen unter stetigen Funktionen wieder offen bzg. abgeschlossen sind.
Bei (a) ist die Menge damit offen.
Bei (b) ist die Menge abgeschlossen. Allerdings ist sie genau dann beschraenkt, wenn $n = 1$ ist. Fuer $n = 1$ kannst du dir das leicht ueberlegen, und fuer $n > 1$ probier doch mal mit Diagonalmatrizen rum.
Bei (c) und (d) kannst du jeweils stetige Funktionen [mm] $\IR^{n \times n} \to \IR^{n \times n}$ [/mm] bzw. [mm] $\IC^{n \times n} \to \IC^{n \times n}$ [/mm] konstruieren so, dass die Mengen Urbilder unter den Funktionen von abgeschlossenen (einelementigen) Mengen sind. Damit sind sie abgeschlossen.
Um zu zeigen, dass sie ebenfalls beschraenkt sind, schau dir die definierende Bedingung an. Was sagt sie ueber die Spalten und deren euklidische Norm aus? Was folgt dafuer ueber die Maximumsnorm einer jeden Spalte der Matrix?
LG Felix
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Vielen dank schonmal für deine hilfe...
bei der a) und bei der b) ist es mir jetz soweit klar, jedoch weiss ich ber der c) und bei der d) leider nicht so genau, wie ich mir entsprechende stetige funktionen konstruieren kann....
heisst das, dass diese abbildungen dann jeweils homöomorphismen sein müssen???
Und wie bringe ich hier dann die beschränktheit ins spiel???
wäre super wenn du mir nochmal helfen könntest!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Fr 18.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefanie!
> Vielen dank schonmal für deine hilfe...
> bei der a) und bei der b) ist es mir jetz soweit klar,
> jedoch weiss ich ber der c) und bei der d) leider nicht so
> genau, wie ich mir entsprechende stetige funktionen
> konstruieren kann....
Bei (c) schau dir doch mal die Abbildung [mm] $\psi [/mm] : [mm] \IR^{n \times n} \to \IR^{n \times n}$, [/mm] $A [mm] \mapsto A^T [/mm] A$ an. Dann ist ja $O(n) = [mm] \psi^{-1}(E_n)$.
[/mm]
Und bei der (d) geht das auch sehr aehnlich...
> heisst das, dass diese abbildungen dann jeweils
> homöomorphismen sein müssen???
Nein. Dazu muessten sie insb. injektiv sein, und das geht nicht wenn sie ganz $O(n)$ bzw. $U(n)$ auf eine Matrix abbilden :)
> Und wie bringe ich hier dann die beschränktheit ins
> spiel???
Wenn [mm] $v_i$ [/mm] die $i$-te Spalte von $A$ ist, und wenn [mm] $A^T [/mm] A = [mm] E_n$ [/mm] ist, dann gilt ja [mm] $v_i^T v_i [/mm] = 1$. Was ist jetzt [mm] $v_i^T v_i$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Fr 18.05.2007 | | Autor: | stofffffel |
vielen vielen dank für deine super hilfe..
hast mir wahnsinnig gut geholfen und ich denke jetz krieg ich auf die aufgabe meine volle punktzahl 
liebe grüße
stofffffel
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