Kompakte Teilmengen nor. Räume < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Ich sitze mittlerweile schon 2 Stunden vor dieser blöden Hausaufgabe, mittlerweile sehe ich wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
Sei E ein unendlich dim. norm. Raum. Beweise, dass jede kompakte Teilmenge von E nirgends dicht ist.
Meine bisherigen Überlegungen:
Sei C eine kompakte Teilmenge von E. C ist kompakt und daher abgeschlossen (E ist normiert, daher Hausdorff-Raum, jede kompakte Teilmenge eine H-Raums ist abgeschlossen).
Nirgends dicht heißt, dass das Innere des Abschlusses von C leer ist. Meine Idee war jetzt, das Ganze durch einen Widerspruch zu zeigen.
Zu zeigen ist also, dass das Innere vom Abschluss von C leer ist:
Sei x ein innerer Punkt von C. Daher kann um x eine offene [mm] $\epsilon$-Kugel [/mm] konstruiert werden, die ganz in C liegt.
Daher ist [mm] $B_{\epsilon}(x) \cap [/mm] E [mm] \subseteq [/mm] C$.
So, weiter komme ich nicht. Das hat doch irgendwas mit dieser Hausdorff-Eigenschaft oben zu tun, oder? Kann ich jetzt einen geschlossene Eps-Kugel konstruieren und die irgendwie mit der offenen "vergleichen"? Wie komme ich dann zum Widerspruch?
Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße, Andreas
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Hallo!
Ich glaube, dass man so auf einen Widerspruch kommt:
Angenommen, die kompakte Menge $C$ sei nicht nirgends dicht, das heißt, [mm] $\widehat C:={\overline C}^\circ\ne\emptyset$. [/mm] Da [mm] $\widehat [/mm] C$ offen ist gibt es einen Punkt [mm] $x\in\hat [/mm] C$ und ein [mm] $\varepsilon [/mm] >0$, so dass [mm] $U_\varepsilon(x)\subset \hat [/mm] C$. Da [mm] $\widehat C\subset [/mm] C$ (denn eigentlich ist ja [mm] $\widehat C=C^\circ$...) [/mm] ist [mm] $U_\varepsilon(x)\subset [/mm] C$ und damit [mm] $\overline{U_\varepsilon(x)}\subset [/mm] C$. Also abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist [mm] $\overline{U_\varepsilon(x)}$ [/mm] kompakt. Aber das ist ein Widerspruch! Denn nach dem Satz von Riesz ist eine Kugel genau dann kompakt, wenn der normierte Raum endlich dimensional ist.
Gruß, banachella
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Vielen Dank für die Antwort, banachella!
Der Satz von Riesz war bei mir der Knackpunkt, woran es scheiterte.
Ideen muss man haben 
Viele Grüße,
Andreas
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