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Kommutator: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:23 Di 24.07.2012
Autor: Bodo0686

Aufgabe
Berechnen Sie den Kommutator der Vektorfelder X=(cosu, cosv) und Y=(sinu, sinv). Gibt es lokale Koordinaten, so dass X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?

Hallo,

könnt ihr bitte kurz drüber schauen, ob das so richtig ist?

Kommutator: [X,Y]=dY(X)-dX(Y)

dX= [mm] \pmat{-sinu & 0 \\ 0 & sinv} [/mm]

dY= [mm] \pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv} [/mm]

[X,Y]=dY(X)-dX(Y) = [mm] \pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv} \pmat{cosu \\ cosv} [/mm] - [mm] \pmat{-sinu & 0 \\ 0 & sinv} \pmat{sinu \\ sinv} [/mm] = [mm] \pmat{cos^2 u \\ cos^2 v} [/mm] - [mm] \pmat{-sin^2 u \\ - sin^2 v}= \pmat{cos^2 u + sin^2 u \\ cos^2v + sin^2 v} [/mm] = [mm] \pmat{1\\1}. [/mm]

Der Kommutator der Vektorfelder ist [mm] [X,Y]=\pmat{1\\1}. [/mm]

Wie kann ich nun zeigen, ob es lokale Koordinaten gibt, so dass X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?

Danke und Grüße!

        
Bezug
Kommutator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 Do 26.07.2012
Autor: meili

Hallo,
> Berechnen Sie den Kommutator der Vektorfelder X=(cosu,
> cosv) und Y=(sinu, sinv). Gibt es lokale Koordinaten, so
> dass X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?
>  Hallo,
>
> könnt ihr bitte kurz drüber schauen, ob das so richtig
> ist?
>  
> Kommutator: [X,Y]=dY(X)-dX(Y)
>  
> dX= [mm]\pmat{-sinu & 0 \\ 0 & sinv}[/mm]

Vorzeichen vergessen:
dX= [mm]\pmat{-sinu & 0 \\ 0 & -sinv}[/mm]

>  
> dY= [mm]\pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv}[/mm]

[ok]

>  
> [X,Y]=dY(X)-dX(Y) = [mm]\pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv} \pmat{cosu \\ cosv}[/mm]
> - [mm]\pmat{-sinu & 0 \\ 0 & sinv} \pmat{sinu \\ sinv}[/mm] =
> [mm]\pmat{cos^2 u \\ cos^2 v}[/mm] - [mm]\pmat{-sin^2 u \\ - sin^2 v}= \pmat{cos^2 u + sin^2 u \\ cos^2v + sin^2 v}[/mm]
> = [mm]\pmat{1\\1}.[/mm]

vergessenes Vorzeigen beim Weiterrechnen wieder berücksichtigt:
[X,Y]=dY(X)-dX(Y) = [mm]\pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv} \pmat{cosu \\ cosv}[/mm]
- [mm]\pmat{-sinu & 0 \\ 0 & -sinv} \pmat{sinu \\ sinv}[/mm] =
[mm]\pmat{cos^2 u \\ cos^2 v}[/mm] - [mm]\pmat{-sin^2 u \\ - sin^2 v}= \pmat{cos^2 u + sin^2 u \\ cos^2v + sin^2 v}[/mm]
= [mm]\pmat{1\\1}.[/mm]

>  
> Der Kommutator der Vektorfelder ist [mm][X,Y]=\pmat{1\\1}.[/mm]

[ok]

>  
> Wie kann ich nun zeigen, ob es lokale Koordinaten gibt, so
> dass X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?
>  
> Danke und Grüße!

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
Kommutator: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:52 Mi 27.02.2013
Autor: Bodo0686

Ich würde gerne diesen Post wieder ins Leben rufen. Gibt es denn lokale Koordinaten, so das X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?

Es muss ja welche geben. Es gibt ja nur keine, wenn der Kommutator [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm]

Aber meine Frage ist jetzt, mit welchem Ansatz, bekomme ich das raus?
Gruß!

Bezug
                        
Bezug
Kommutator: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Fr 01.03.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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