Kommutativität der Addition < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Kommutativität der Addition aus den übrigen Axiomen eines Vektorraumes folgt! |
Hallo,
es soll also gelten:
[mm] \forall [/mm] u, v [mm] \in [/mm] V : u + v = v + u
Wie kann ich das beweisen?
Die übrigen Axiome, welche mir bekannt sind, sind das der Assoziativität, das des Einselements und das der Distributivität.
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Hallo Dash,
> Zeigen Sie, dass die Kommutativität der Addition aus den
> übrigen Axiomen eines Vektorraumes folgt!
> Hallo,
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> es soll also gelten:
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> [mm]\forall[/mm] u, v [mm]\in[/mm] V : u + v = v + u
>
> Wie kann ich das beweisen?
>
> Die übrigen Axiome, welche mir bekannt sind, sind das der
> Assoziativität, das des Einselements und das der
> Distributivität.
Ich glaube, du brauchst nur die Tatsache, dass $(V,+)$ eine Gruppe ist und die Distributivität mit den Skalaren aus dem Körper, also [mm] $\lambda\cdot{}(u+v)=\lambda\cdot{}u+\lambda\cdot{}v$
[/mm]
Damit ist nämlich
$(u+v)-(u+v)=0$, denn da $(V,+)$ eine Gruppe ist mit neutr. Element 0 und $-(u+v)$ invers zu $u+v$
[mm] $\Rightarrow [/mm] u+v-u-v=0$ Distributivität, siehe oben mit [mm] $\lambda=-1\in\IK$ [/mm] und Assoziativität von + (man kann Klammern bei Summen weglassen)
Da wegen $(V,+)$ Gruppe die Inversen zu $u,v$ existieren, addiere nun in der Reihenfolge zuerst $v$, dann $u$ von rechts an die Gleichung ran ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Dash |
Danke für die schnelle Antwort, aber ...
an welche Gleichung und wie ist das mit "von rechts" gemeint (das sagtest du in einem anderen Thread schon einmal, jedoch verstehe ich es nicht). Bitte erkläre es mir.
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Hallo nochmal,
> Danke für die schnelle Antwort, aber ...
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> an welche Gleichung und wie ist das mit "von rechts"
> gemeint (das sagtest du in einem anderen Thread schon
> einmal, jedoch verstehe ich es nicht). Bitte erkläre es
> mir.
Das heißt genau das, was du intuitiv darunter verstehen würdest 
Ich kann doch Elemente von links oder von rechts an eine Gleichung oder an einen Term dran verknüpfen, wenn ich weiß, dass die Verknüpfung kommutativ ist, ist es egal, von welcher Seite ich das dranklatsche, das kann ich ja beliebig tauschen
Hier ist es so gemeint:
$u+v-u-v=0$ von rechts (also an die rechte Seite beiderseits der Gleichung) addiere ich [mm] $\blue{v}$
[/mm]
Das gibt [mm] $u+v-u(-v\blue{+v})=0+\blue{v}$
[/mm]
Also $u+v-u+0=v$, also $u+v-u=v$
Dasselbe nun mit $+u$ ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Dash |
Danke! Nun habe ich das verstanden.
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