Kommutativität, Assoziativität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 30.12.2009 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | | Warum gilt in den Natürlichen Zahlen und den nichtnegativen Zahlen das Kommutativ- und Assoziativgesetz? |
Hallo,
Ich unterrichte demnächst beide Gesetze in einer sechsten Klasse und muss in der Sachanalyse die obigen Fragen beantworten.
Ich kann ja nicht einfach sagen, dass es abel'sche Halbgruppen/Gruppoide sind, weil das ja kein Beweis wäre.
Hilfe ist erwünscht.
Danke, slash.
|
|
| |
|
Hallo jake,
ich denke, dir ist klar, dass in der sechsten Klasse niemanden interessiert, warum man zwei nichtnegative Zahlen vertauschen darf oder Klammern setzen darf.
Da reicht einfach das Argument: "Das ist ja klar. Wenn ich 5+6 rechne oder 6+5, da kommt natürlich dasselbe raus" bzw. "Ob ich nun bei 4+5+6 zuerst 4+5 ausrechne und danach 6 dazuaddiere oder umgekehrt, ist auch egal, oder?"  .
(Notfalls mit Äpfeln verdeutlichen, wird aber in der sechsten Klasse nicht mehr notwendig sein).
Zu den Formalien: Ich weiß jetzt zwar nicht genau, was eine "Sachanalyse" ist, aber wenn du das sozusagen vorher theoretisch abhandeln musst:
- Dass das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetzen in den natürlichen Zahlen gelten, beweist du mit den Peano-Axiomen (Induktion). Für das Kommutativgesetz nutzt du dann doppelte Induktion (Ausgangspunkt: m+n = n+m, dann Induktion über n, und in dieser Induktion nochmal Induktion über m), für das Assoziativgesetz ähnlich; ![[]](/images/popup.gif) Hier kannst du dir die Ideen holen bzw. es nachlesen.
- Die rationalen Zahlen werden ja aus den ganzen bzw. natürlichen Zahlen über Äquivalenzklassen definiert. Es sollte dann nicht schwer zu zeigen sein, dass alle Gesetze "vererbt" werden, wenn du zusätzlich ohne Einschränkung forderst, dass sowohl Zähler als auch Nenner natürliche Zahlen sind. Hier zur Erinnerung die Definition der rationalen Zahlen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
