Kommutativit.d.Addit. in N->VI < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Fr 18.08.2006 | | Autor: | Stella- |
| Aufgabe | Beweise mittels vollständiger Induktion nach b:
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \varepsilon\ [/mm] IN: a + b = b + a
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Hallo miteinander!
Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, hier mein Versuch:
IB: b = 0 a + 0 = 0 + a w.A.
IA: b = k a + k = k + a
IS: b = k´ (a + k)´= k´+ a
(Auf der linken Seite mach ich den "Schritt +1", auf der rechten ersetze ich das k direkt mit dem Nachfolger k+1 bzw. k´.)
Jetzt ist mir aber nicht klar, inwiefern ich umformen darf oder soll.
(a + k)´= k´+ a
a + k´= k´+ a
a + (k + 1) = (k + 1) + a
Jetzt bin ich wieder bei meiner Annahme, hm. Sieht aber noch nicht wirklich nach der Reproduktion aus. - Wie geht es jetzt weiter?
LG Stella-
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Fr 18.08.2006 | | Autor: | Palin |
Sag doch mal bitte was du beweisen solst soweit ich weis ist das Kommutativ gesetz ein Axiom (und kann bzw brauch nicht bewisen zu werden)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Sa 19.08.2006 | | Autor: | Stella- |
| Aufgabe | Satz: Die Addition der natürlichen Zahlen ist kommutativ.
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \varepsilon \IN: [/mm] a + b = b + a
Beweis durch vollständige Induktion nach b. |
Genau so steht die Aufgabe im Skriptum.
Ich kann Dir hier mal den zweiteiligen Beweis aus dem Skriptum abtippen (Kursives ist hinzugefügt), nur versteh ich den garnicht:
IB: b = 0 a + 0 = 0 + a gilt wegen A1 (1. Additionsaxiom)->w.A.
IA: b = k a + k = k + a
IS: b = k´ a + k´= k´+ a (Warum links nicht (a+k)´?)
Hilfssatz: [mm] \forall [/mm] a [mm] \varepsilon \IN: [/mm] a + 1 = 1 + a
--> Beweis durch VI
IB: a = 0 0 + 1 = 1 + 0 gilt wegen A1 --> w.A.
IA: a = k k + 1 = 1 + k
IS: a = k´ k´+ 1 = 1 + k´ (Warum links nicht (k+1)´?)
1 + k´= 1 + (k + 1) = (1 + k) + 1 = (k + 1) + 1 = k´+ 1
k´+ 1 = (k + 1) + 1 = (1 + k) + 1 = 1 + (k + 1) = 1 + k´
--> IS:
a + k´= (a + k)´= (k + a)´= k + (a + 1) = k + (1 + a) = (k + 1) + a = k´+ a
Das wars. Ist für mich aber nicht nachvollziehbar. :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Sa 19.08.2006 | | Autor: | Palin |
Hi ich bin mir bei meiner Antwort nicht sicher, aber ich glauube das entscheidene ist die Klammerung.
wenn wir mit IA a+b = b+a , anfagen und davon ausgehen das die behauptung richtig ist mussen wir sie nun nach b+1 erweiter.
Also
(a+b) = (b+a) | +1
(a+b)+1 = (b+a)+1
Andern der Klamerung
a+(b+1) = b+(a+1)
Tauschen von a und 1 (Hilfssatz)
a+(b+1) = b+(1+a)
Ändern der 2. Klamer
a+(b+1) = (b+1) +a
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Sa 19.08.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Stella,
diese grundlegenden Beweise in den natürlichen Zahlen sind immer ziemlich viel Fieselkram, weil vieles ja intuitiv klar ist, aber man muss ja immer wieder zurück auf die Definitionen und wenn man eine Aussage für alle natürlichen Zahlen Beweisen will landet man zwangsläufig beim Induktions-Axiom.
Zum Beweis im Skript:
>
> IB: b = 0 a + 0 = 0 + a gilt wegen A1 (1.
> Additionsaxiom)->w.A.
Dass a+0= 0+a = a ist wohl in der Definition der Addition so festgelegt (die ist ja sicher rekursiv und das wäre dann der Anfang der Rekursion).
>
> IA: b = k a + k = k + a
Das sollte klar sein.
>
> IS: b = k´ a + k´= k´+ a (Warum links nicht (a+k)´?)
Weil Du ja Induktion über b machst und nicht über a+b. D.h. im Induktionsschritt k->k' (also zum Nachfolger) setzt man statt b=k eben b=k' und das sieht dann eben so aus.
Ich ziehe jetzt mal den Induktionsschluss etwas vor, dann sieht man beser, wozu man den Hilfssatz braucht:
> --> IS:
> a + k´= (a + k)´
Das ist wohl die Definition der Addition
> = (k + a)´
Hier wird IA in der Klammer verwendet. Dann würde ich noch den folgenden Zwischenschritt machen:
= k + a' (wieder die Definition der Addition rückwärts)
> = k + (a + 1)
(a+1) ist ja der Nachfolger von a, also a'
> = k + (1 + a)
...und hierfür benötigt man den Hilfssatz, dass 1 mit jeder natürlichen Zahl kommutiert - irgendwie muss die 1 ja wieder zum k kommen!
> = (k + 1) + a
Umklammern erlaubt das Assoziativgesetz, das Ihr ja hoffentlich schon bewiesen habt.
> = k´+ a
...und dann ist k+1 wieder der Nachfolger von k.
Damit wäre also gezeigt, dass a+k' = k'+a, wie wir es im Induktionsschritt brauchen.
Der Beweis des Hilfssatzes funktioniert im Prinzip nicht viel anders, allerdings ist er m.E. insofern übersichtlicher als dass man nur eine Variable hat und deswegen nicht überlegen muss, über welche Variable man die Induktion durchführt. Schau Dir den vielleicht nochmal selber an, wobei Du am besten immer die Definition der Addition neben Dir liegen hast - an der sollte man die einzelnen Schritte (bis auf das Umklammern) dann gut nachvollziehen können.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Stella- |
Vielen Dank euch beiden!
@Palin: So im Nachhinein sagt mir Dein Tipp auch was...kurz und treffend!
@piet: Das war supergenau - sehr gut nachvollziehbar! *freu*
Stella
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