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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Menge
G := [mm] \begin{cases}A \in \IR^{2,2}\quad | \quad \exists \alpha \in \IR : A = \begin{bmatrix}
\cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\
\sin{\alpha} & \cos{\alpha}
\end{bmatrix} \end{cases}
[/mm]
mit der Matrixmultiplikation eine kommutative Untergruppe von [mm] GL_{2}(\IR) [/mm] ist. Wenn nicht, welche Eigenschaften sind noch erfüllt?
Hinweis: Sie dürfen die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen ohne Beweis verwenden. |
Also ehrlich gesagt, versteh ich die Aufgabe gar nicht.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank.
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Hallo Highchiller,
> Untersuchen Sie, ob die Menge
> G := [mm]\begin{cases}A \in \IR^{2,2}\quad | \quad \exists \alpha \in \IR : A = \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\
\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} \end{cases}[/mm]
>
> mit der Matrixmultiplikation eine kommutative Untergruppe
> von [mm]GL_{2}(\IR)[/mm] ist. Wenn nicht, welche Eigenschaften sind
> noch erfüllt?
>
> Hinweis: Sie dürfen die Additionstheoreme für
> trigonometrische Funktionen ohne Beweis verwenden.
> Also ehrlich gesagt, versteh ich die Aufgabe gar nicht.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Na, prüfe die 3 Untergruppenkriterien:
1) Ist [mm] $G\neq\emptyset$ [/mm] bzw. äquivalent: ist das neutr. Element aus [mm] $\operatorname{Gl}_2(\IR)$ [/mm] in $G$ ?
Welches ist das und ist es in $G$?
2) Ist mit [mm] $A,B\in [/mm] G$ auch [mm] $A\cdot{}B\in [/mm] G$ (Hinweis verwenden)
Edit:
3) Mit [mm] $A\in [/mm] G$ ist auch [mm] $A^{-1}\in [/mm] G$
War geistig umnebelt - sorry
Edit Ende
> Vielen Dank.
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
1) A = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & \sin{\alpha} \\ -\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix}
[/mm]
Mit Hilfe der Additionstheoreme kommt man da ganz leicht drauf.
Aber was nun? Muss ich jetzt ein [mm] \alpha [/mm] angeben für das $A = [mm] A^{-1}$ [/mm] gilt?
2) Wir wählen A = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} [/mm] und B = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\beta} & -\sin{\beta} \\ \sin{\beta} & \cos{\beta} \end{bmatrix}
[/mm]
Dann gilt
A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\alpha+\beta} & -\sin{\alpha+\beta} \\ \sin{\alpha+\beta} & \cos{\alpha+\beta} \end{bmatrix}
[/mm]
Das ist ja eindeutig. Denk ich mal.
3) Hmm naja. Ich denke nicht das 3. gilt. Aber wie soll ich das aufschreiben? Reicht es dass
[mm] \lambda \cdot [/mm] A = [mm] \begin{bmatrix} \lambda\cos{\alpha} & -\lambda\sin{\alpha} \\ \lambda\sin{\alpha} & \lambda\cos{\alpha} \end{bmatrix}
[/mm]
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Dir fehlt also nur noch
[mm] $e\in [/mm] U$
Das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix und diese liegt in o(2). Damit ist O(2) eine Untergruppe von Gl(2)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Dein 3) ist KEIN Untergruppenaxiom sondern einer Untervektorraumaxiom.
Richtig wäre zu zeigen, dass gilt [mm]a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U[/mm] . Und das ist hier der Falls, da [mm]O(2)\;[/mm] eine Untergruppe von [mm]GL(2,\IR)[/mm] ist.
PS: Irgendwie ist das eine Frage geworden. Hilfe. Ich habe aber auf Mitteilung geklickt. Ich schwöre!
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