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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 29.01.2006 | | Autor: | jennyf |
| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe mir dem Zentrum Z(G) und N ein Normalteiler von G mit [mm] N\subset [/mm] Z(G) und G/N zyklisch. Zu zeigen: G ist kommutativ. |
Meine Problem beim Beweis der obigen Aussage ist folgender:
Ich weiß, da G/N zyklisch, dass G/N kommutativ ist. Außerdem weiß ich das N kommutativ ist.
Nehmen wir uns zwei Elemente (N [mm] \* [/mm] a), (N [mm] \* [/mm] b) aus G/N.
[mm] \Rightarrow:(N \* [/mm] a) [mm] \*' [/mm] (N [mm] \* [/mm] b) = N [mm] \*' [/mm] (a [mm] \* [/mm] b)
Kann ich dann sagen, dass das gleiche ist wie N [mm] \*' [/mm] (b [mm] \* [/mm] a)?
Wenn ja habe ich dann nämlich am Ende stehen: (N [mm] \* [/mm] a) [mm] \*' [/mm] (N [mm] \* [/mm] b) = (N [mm] \* [/mm] b) [mm] \*' [/mm] (N [mm] \* [/mm] a)
Oder muss ich den Beweis ganz anders Anfangen um zu zeigen, dass G kommutativ ist?
Ich wäre euch für einen Tipp bzw. für eure Hilfe sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 So 29.01.2006 | | Autor: | CHP |
Hallo Jenny,
deine Rechnungen sind zwar soweit in Ordnung, ich sehe aber nicht, dass sie zum Ziel führen. Dazu muss man ausnutzen, dass G/N zyklisch ist (und nicht nur kommutativ), also etwa:
[mm]G/N = < Ng > = \{ N , Ng , Ng^2 , ... \}[/mm]
für ein geeignetes [mm] g \in G [/mm].
Ist nun a ein beliebiges Element aus G, so lässt sich die zugehörige Restklasse stets in der Form [mm]Na=Ng^i[/mm] schreiben, man erhält also [mm]a=ng^i[/mm] mit einem geeigneten [mm] n \in N[/mm].
Ist b ein weiteres Element aus G, s erhält man analog [mm]b=n'g^j[/mm] für ein [mm] n' \in N[/mm]. Nutzt man nun aus, dass N im Zentrum enthalten ist, so erhält man sehr schnell ab=ba.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 06.02.2006 | | Autor: | jennyf |
Wenn ich mir dann solche Elemente a und b [mm] \in [/mm] G nehme und so wie angeben schreibe also in der Form:
a = [mm] n\* g^i [/mm] und b = [mm] n'\* g^j
[/mm]
dann folgt:
[mm] a\*b [/mm] = [mm] n\* g^i \*n' \* g^j =n'\* g^j \*n \* g^i [/mm] = [mm] b\* [/mm] a
da [mm] n\* g^i [/mm] , [mm] n'\* g^j \in [/mm] G/N
Kann man den Beweis auch so machen?
Ansonsten weiß ich nämlich nicht wie es gehen soll. Kann auch sein, dass ich einfach auf dem Schlauch stehe und denn richtigen Weg nicht sehe.
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Hallo!
Dein Lösungsweg ist in der Tat richtig. Beachte allerdings, dass $n*n'=n'*n$ nur, weil [mm] $N\subseteq [/mm] Z(G)$!
Gruß, banachella
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