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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:32 Mi 22.09.2010 | | Autor: | mahoney |
| Aufgabe | | An einer Schnur sollen 10 durchlochte Kugeln aufgehängt werden. Wieviel Möglichkeiten gibt es dafür, wenn jeweils 4 rote, blaue und grüne Kugeln zur Verfügung stehen? |
Irgendwie komme ich nicht zu einem sinnvollen ergebnis. ich bräuchte bitte den genauen rechenweg, wenn es möglich ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo mahoney,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie lauten denn Deine Ergebnisse? Bitte poste diese (mit kurzer Erläuterung) ... auch wenn diese Dir als falsch erscheinen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mi 22.09.2010 | | Autor: | mahoney |
also ich habe mir gedacht dass ich aus den insgesamt 12 kugeln 10 auswähle, also 12 über [mm] 10/(4!)^3. [/mm]
was ich vergessen habe zu erwähnen ist, dass laut meiner lösungsvorgabe 22050 möglichkeiten herauskommen sollte.
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Hallo mahoney,
> also ich habe mir gedacht dass ich aus den insgesamt 12
> kugeln 10 auswähle, also 12 über [mm]10/(4!)^3.[/mm]
Meinst Du [mm] \bruch{\vektor{12\\10}}{(4!)^3} [/mm] ?
Klick auf die Formel, dann siehst Du, wie ich das geschrieben habe.
Wenn Du das ausrechnest, ergibt sich [mm] \bruch{66}{24^3} [/mm] - das ist sicher keine sinnvolle Angabe und bestimmt nicht vereinbar mit dem folgenden:
> was ich vergessen habe zu erwähnen ist, dass laut meiner
> lösungsvorgabe 22050 möglichkeiten herauskommen sollte.
Fangen wir mal mit [mm] \vektor{12\\10} [/mm] an. Das wäre die Zahl der Möglichkeiten, 10 von 12 unterscheidbaren Objekten auszuwählen. Hier hast Du aber je drei Gruppen von untereinander nicht unterscheidbaren Objekten je einer Farbe. Es ist ja egal, ob nachher (neben z.B. einer grünen) die erste, zweite, dritte oder vierte rote Kugel übrigbleibt.
Ähnliches gilt für Dein [mm] (4!)^3. [/mm] Das wäre die Zahl der Möglichkeiten, dreimal vier gruppierte, aber innerhalb der Gruppe unterscheidbare Objekte anzuordnen.
Die Anordnungen, die Du hier untersuchst, wären doch z.B. wie folgt zu notieren. Es sei R=rote Kugel, B=blaue Kugel, G=grüne Kugel.
Dann sind RRBRGGGRBB, GRBBBBRGGG, GRRGRRGBBG nur drei der möglichen Anordnungen. Wie könntest Du alle möglichen "katalogisieren"? Von da aus findest Du auch die Berechnung.
Grüße
reverend
PS: Falls es Dir bei der Überprüfung hilft - [mm] 22050=2*3^2*5^2*7^2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 22.09.2010 | | Autor: | mahoney |
Danke für die schnelle Antwort reverend.
Leider verstehe ich nicht, wie ich aus den 3 gruppen mit 4 nicht unterscheidbaren elementen 10 elemente auswähle, da es einen unterschied macht ob ich insgesamt 4 rote 4 blaue und 2 grüne oder 3 rote 3blaue und 4 grüne usw. auswähle
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Hallo nochmal,
betrachten wir die beiden übrig gebliebenen Kugeln.
Entweder sie haben die gleiche Farbe, oder sie sind verschieden.
Erster Fall: zwei gleiche sind übrig.
Dann sind die zehn (die ja eigentlich zu betrachten sind), wie folgt aufgeteilt: vier Kugeln der Farbe X, vier der Farbe Y, zwei der Farbe Z. Wie können sich diese verteilen?
Legen wir erst einmal die beiden Z-Kugeln fest. Dafür gibt es a Möglichkeiten (da es ja 10 Plätze sind).
Für die nächsten vier (sagen wir, Y) sind noch 8 Plätze frei. Dafür gibt es also b Möglichkeiten.
Die letzten vier (hier also X) sind dann auch schon festgelegt.
Es fragt sich noch, ob die mögliche Vertauschung von X und Y berücksichtigt werden muss. Ja oder nein? Wenn ja, dann muss das Ergebnis noch durch 2 geteilt werden.
Bisher also a*b oder [mm] \bruch{a*b}{2} [/mm] Möglichkeiten.
Da die beiden übriggebliebenen Kugeln aber eine von 3 Farben haben können, muss das noch mit 3 multipliziert werden.
Zweiter Fall: zwei verschiedene sind übrig, sagen wir XY.
Es gibt also drei X, drei Y, vier Z-Kugeln zu verteilen.
Das geht im Prinzip wie oben, allerdings muss man am Ende noch bedenken, dass es ja drei verschiedene Farbkombinationen von zwei verschiedenen Kugeln gibt.
Summa summarum also: ?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mi 22.09.2010 | | Autor: | mahoney |
das bedeutet also, dass ich für die 2 kugeln Z [mm] \vektor{4 \\ 2}
[/mm]
für die kugel [mm] \vektor{8 \\ 4} [/mm] möglichkeiten habe? und wenn ich die vertauschung berücksichtige dann [mm] \vektor{4 \\ 2}*\vektor{8 \\ 4}/2 [/mm]
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Hallo nochmal,
> das bedeutet also, dass ich für die 2 kugeln Z [mm]\vektor{4 \\
2}[/mm]
Nein, das wären ja zwei aus vier (gleichfarbigen) Kugeln, die aber hier nicht unterscheidbar sind. Dieser Binomialkoeffizient ist hier daher bedeutungslos.
Du willst zwei Kugeln auf zwei von zehn leeren Plätzen legen.
Dafür gibt es [mm] \vektor{10\\2} [/mm] Möglichkeiten.
> für die kugel [mm]\vektor{8 \\
4}[/mm] möglichkeiten habe? und
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn ich die vertauschung berücksichtige dann [mm]\vektor{4 \\
2}*\vektor{8 \\
4}/2[/mm]
Reingefallen. Du musst zwar überlegen, ob die Vertauschung zu berücksichtigen ist, aber das ist hier nicht der Fall. Mit der Festlegung der ersten vier Kugeln innerhalb der 8 noch freien Plätze sind tatsächlich alle Möglichkeiten erschöpft.
Für den 1. Fall (zwei gleichfarbige bleiben über) gibt es also
[mm] \vektor{10\\2}*\vektor{8\\4}*\blue{3}=\bruch{10!*8!*3}{8!*2!*4!*4!}=5^2*6*7*9=9450 [/mm] Möglichkeiten.
Und für den 2. Fall?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Mi 22.09.2010 | | Autor: | mahoney |
für den 2. fall gilt dann:
[mm] \vektor{10 \\ 3}*\vektor{7 \\ 3}*3=12600
[/mm]
12600+9450=22050
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Mi 22.09.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
so ist es.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße
reverend
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