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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Kolmogorov-Smirnov-Test
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Kolmogorov-Smirnov-Test: Anpassungstest
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Di 17.07.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Folgende Aufgabe stammt aus Büning/ Trenkler, "Nichtparametrische Statistische Methoden", 2., völlig neu überarbeitete Auflage, S. 112:

Die Dauer X von Telefongesprächen (in Min.) in einem Privathaushalt werde durch eine Exponentialverteilung mit Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] beschrieben. Folgende Stichprobe vom Umfang $n=16$ liegt vor:

1.5  0.7  3.6  0.8  1.6  2.1  0.6  5.1

1.4  3.1  0.9  2.7  2.8  1.6  0.2  3.3


Testen Sie mit Hilfe des Kolmogorov-Smiornov-Tests die Hypothese, daß die Daten exponentialverteilt sind [mm] ($\alpha=0.05$). [/mm]


Guten Abend zusammen!


Ich habe zunächst den Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] geschätzt mittels

[mm] $\hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{x}}=1/2$. [/mm]

(Das ist meines Wissens der Maximum-Likelihood-Schätzer.)


Dann habe ich die Teststatistik


[mm] $K_{16}=\sup_{x}\left\vert F_0(x)-\hat{F}_{16}(x)\right\vert$ [/mm] berechnet, wobei

[mm] $F_0(x)=\begin{cases}1-e^{-0.5x}, & \mbox{falls }x\geq 0\\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm] und

[mm] $\hat{F}_{16}$ [/mm] die empirische Verteilungsfunktion bezeichnet, also

[mm] $\hat{F}_{16}(x)=\frac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}\chi_{[x_i,\infty)}(x)$. [/mm]



Ich komme auf

[mm] $K_{16}=0,134$ [/mm] und dies ist kleiner als [mm] $k_{0.95}=0.327$. [/mm]


Demnach kann die Nullhypothese (dass X exponentialverteilt ist) nicht abgelehnt werden.





Ich wüsste sehr gerne, ob ich Recht habe, denn leider gibt es für diese Aufgabe keine Lösung in dem genannten Buch.



Viele Grüße,

Dennis

        
Bezug
Kolmogorov-Smirnov-Test: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Di 17.07.2012
Autor: blascowitz

Hallo,

die Teststatistik habe ich jetzt nachgerechnet, dein Wert [mm] $K_{16}$ [/mm] stimmt.

Allerdings hast du den Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] ja geschätzt. Damit stimmen die kritischen Werte für den Kolmogorov-Smirnov-Test nicht mehr.

In diesem Paper []hier wird genau die Situation untersucht, dass der Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] bei einer Exponentialverteilung geschätzt werden muss.

Auf Seite 3 findest du die Tabelle für die Kritischen Werte des KST in diesem Fall.

Am Ergebnis ändert dies allerdings nichts. Die Nullhypothese, dass die Grundgesamtheit exponentialverteilt mit Parameter [mm] $\lambda=\frac{1}{2}$ [/mm] ist, kann nicht abgelehnt werden.

Viele Grüße
Blasco


Bezug
                
Bezug
Kolmogorov-Smirnov-Test: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Di 17.07.2012
Autor: dennis2

Danke!

Ich habe gerade auch in dem genannten Buch einen Verweis auf die von Dir verlinkte Arbeit gesehen.


Es ist also dann $0.261$ der kritische Wert.

Bezug
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