Körperisomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Bekanntlich sind die beiden Polynome [mm] f_1(x) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + x +1 und [mm] f_2(x) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 1 [mm] \in \mathbb{F}_2[x] [/mm] irreduzibel in [mm] \mathbb{F}_2[x]. [/mm] Daher sind die Quotientenringe
[mm] K_1 [/mm] := [mm] \frac{\mathbb{F}_2[x]}{(f_1(x))} [/mm] und [mm] K_2 [/mm] := [mm] \frac{\mathbb{F}_2[x]}{(f_2(x))} [/mm] Körper. Weil sie [mm] \mathbb{F}_2 [/mm] - Vektorräume der Dimension 3 sind, haben sie beide 8 Elemente. Finden Sie einen Körperisomorphismus [mm] \phi: K_1 \rightarrow K_2 [/mm] und beiweisen Sie, dass er einer ist. Am besten benennen Sie dafür die Klasse [x] in [mm] K_1 [/mm] mit [mm] \alpha_1 [/mm] und die Klasse [x] in [mm] K_2 [/mm] mit [mm] \alpha_2. [/mm] |
Hallo,
ich habe hier nochmal eine Frage zu einem diesmal nicht Körper- auto- aber - isomorphismus. Also [mm] \mathbb{F}_2 [/mm] mit 0 und 1 ist ja nicht sonderlich groß, aber wie soll ich da einfach einen Isomorphismus "finden"?
Wenn ich ihn hab muss ich ja zeigen, dass er
1.) wohldefiniert ist (wegen Restklassenabbildung hier)
2.) ein Homorphismus ist
3.) bijektiv ist, d.h. wohl seine inverse Abbildung angeben.
Wäre super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Fr 21.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Bekanntlich sind die beiden Polynome [mm]f_1(x)[/mm] = [mm]x^3[/mm] + x +1
> und [mm]f_2(x)[/mm] = [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 1 [mm]\in \mathbb{F}_2[x][/mm] irreduzibel
> in [mm]\mathbb{F}_2[x].[/mm] Daher sind die Quotientenringe
> [mm]K_1[/mm] := [mm]\frac{\mathbb{F}_2[x]}{(f_1(x))}[/mm] und [mm]K_2[/mm] :=
> [mm]\frac{\mathbb{F}_2[x]}{(f_2(x))}[/mm] Körper. Weil sie
> [mm]\mathbb{F}_2[/mm] - Vektorräume der Dimension 3 sind, haben sie
> beide 8 Elemente. Finden Sie einen Körperisomorphismus
> [mm]\phi: K_1 \rightarrow K_2[/mm] und beiweisen Sie, dass er einer
> ist. Am besten benennen Sie dafür die Klasse [x] in [mm]K_1[/mm] mit
> [mm]\alpha_1[/mm] und die Klasse [x] in [mm]K_2[/mm] mit [mm]\alpha_2.[/mm]
Es muß 0 = [mm] \phi(0) [/mm] = [mm] \phi(f_1(\alpha_1)) [/mm] = [mm] f_1(\phi(\alpha_1)) [/mm] sein, was (nach meinen Hopplahopp-Rechnungen) für [mm] \phi(\alpha_1) [/mm] = [mm] \alpha_2^{3} [/mm] gilt.
Damit hätte man einen Anhaltspunkt für einen Isomorphismus.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hi,
danke für die Anwort! Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, die Abbildung geht ja von [mm] K_1 [/mm] nach [mm] K_2 [/mm] und in beiden Gebilden leben diese 8 Polynome, oder?
Warum bildet das [mm] \phi [/mm] dann nicht wieder Polynome auf Polynome ab?
Und dann ist mir noch nicht ganz klar was diese Quotientenringe genau bedeuten. In [mm] \mathbb{F}_2[x] [/mm] bin ich auf folgende 8 unitäre Polynome vom Grad 3 gekommen:
f(x) = [mm] x^3
[/mm]
f(x) = [mm] x^3+x^2+x+1
[/mm]
f(x) = [mm] x^3 [/mm] +x + 1
f(x) = [mm] x^3 [/mm] + 1
f(x) = [mm] x^3 +x^2 [/mm] + 1
f(x) = [mm] x^3 [/mm] +x ^2 + x
f(x) = [mm] x^3 [/mm] + x
Welche sind nun aber in [mm] K_1 [/mm] und welche in [mm] K_2? [/mm] In [mm] K_1 [/mm] wird ja quasi [mm] f_1(x) [/mm] "herausgeteilt", oder?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 So 23.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Tag Riley!
> danke für die Anwort! Allerdings ist mir noch nicht ganz
> klar, die Abbildung geht ja von [mm]K_1[/mm] nach [mm]K_2[/mm] und in beiden
> Gebilden leben diese 8 Polynome, oder?
Was du hier so schön 'Gebilde' nennst, sind Restklassenringe. Da leben erstmal keine Polynome oder andere wilde Tiere, sondern da gibt es Elemente, nämlich Restklassen, und zwar genau Stücker 8.
Diese beiden Restklassenringe sind nebenbei auch [mm] $\mathbb{F}_2$-Algebren, [/mm] und die gesuchten Isomorphismen sollen den Grundkörper natürlich invariant lassen, sind damit also notgedrungen [mm] $\mathbb{F}_2$-Algebra-Isomorphismen.
[/mm]
Nun werden die beiden Burschen aber als Algebra von [mm] $\overline{X}$, [/mm] also dem Bild von X im Restklassenring, erzeugt. Also ist [mm] \phi [/mm] durch das Bild von [mm] $\overline{X}$ [/mm] bestimmt.
Damit es wohldefiniert ist, muß das Bild eine Nullstelle von [mm] f_1 [/mm] sein, das habe ich dir in meiner ersten Antwort vorgerechnet. Übrigens hat dir dein Prof. ja geraten, das [mm] $\overline{X}$ [/mm] links anders zu benamsen als rechts, weil es eben auch 2 verschiedene Dinge sind.
Jetzt sind die Nullstellen von [mm] $f_1$ [/mm] in [mm] $K_2$ $\alpha_{2}^{3}$, $\alpha_{2}^{6}$ [/mm] = [mm] $\alpha_{2}^{2}$ [/mm] + [mm] $\alpha_{2}$ [/mm] und [mm] $\alpha_{2}^{12}$ [/mm] = [mm] $\alpha_{2}^{5}$ [/mm] = [mm] $\alpha_{2}$ [/mm] + 1. Du kannst [mm] $\alpha_{1}$ [/mm] := [mm] $\overline{X}$ [/mm] auf eine von diesen Nullstellen abbilden, der Rest ergibt sich dann durch Fortsetzung.
> Warum bildet das [mm]\phi[/mm] dann nicht wieder Polynome auf
> Polynome ab?
Wir hantieren gar nicht mit Polynomen, sondern mit Restklassen, die durch Polynome vertreten werden.
> Und dann ist mir noch nicht ganz klar was diese
> Quotientenringe genau bedeuten. In [mm]\mathbb{F}_2[x][/mm] bin ich
> auf folgende 8 unitäre Polynome vom Grad 3 gekommen:
Mit Quotientenring bezeichnet man üblicherweise ein anderes Gebilde. Hier ist Restklassenring der ricchtige Terminus.
> f(x) = [mm]x^3[/mm]
> f(x) = [mm]x^3+x^2+x+1[/mm]
> f(x) = [mm]x^3[/mm] +x + 1
> f(x) = [mm]x^3[/mm] + 1
> f(x) = [mm]x^3 +x^2[/mm] + 1
> f(x) = [mm]x^3[/mm] +x ^2 + x
> f(x) = [mm]x^3[/mm] + x
>
> Welche sind nun aber in [mm]K_1[/mm] und welche in [mm]K_2?[/mm] In [mm]K_1[/mm] wird
> ja quasi [mm]f_1(x)[/mm] "herausgeteilt", oder?
Diese Polynome sind nicht in [mm] K_1 [/mm] oder [mm] K_2, [/mm] sondern über [mm]\mathbb{F}_2[/mm].
Was weißt du denn bisher über endliche Körper, um die geht es hier ja? Wenn du nicht viel weißt, dann bau dir doch mal die Verknüpfungstafeln (+ und [mm] \*) [/mm] für beide zusammen, das übt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Riley |
Guten Abend,
vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen! Ich konnte dir aber noch nicht ganz folgen. Warum kommst du eigentlich auf
[mm] f_1(\phi(\alpha_1)) [/mm] = [mm] \alpha_2^3, [/mm] warum [mm] \alpha_2 [/mm] ?
Also mein Problem ist einfach, dass ich versucht habe auszurechnen:
[mm] \phi(f_1(\alpha_1)) [/mm] = [mm] \phi(\alpha_1^3 [/mm] + [mm] \alpha_1 [/mm] + 1) = [mm] \alpha_2^3 [/mm] ??
Bzw.:
[mm] f_1(\phi(\alpha_1)) [/mm] = [mm] \alpha_2^9 [/mm] + [mm] \alpha_2^3 [/mm] + 1
... und wie kommst du auf die NS von [mm] f_1 [/mm] in [mm] K_2'?
[/mm]
Außerdem kann ich mir noch nicht vorstellen wie Restklassen durch Polynome vertreten werden? Sind das [x] bzw wie wir sie dann [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] nennen, diejenigen Zahlen, die den Rest bei der Division durch 2 angeben? ... aber wie können sie dann durch Polynome vertreten werden? Sorry, das geht gar nicht in mein kleines Hirn...
Leider weiß ich über Körper noch nicht allzuviel, wir haben mit der Theorie auch grad erst angefangen und unser prof meinte schon das wäre viel schwerer als Ring - oder Gruppentheorie...
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Di 25.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen! Ich
> konnte dir aber noch nicht ganz folgen. Warum kommst du
> eigentlich auf
> [mm]f_1(\phi(\alpha_1))[/mm] = [mm]\alpha_2^3,[/mm] warum [mm]\alpha_2[/mm] ?
Das habe ich so nicht geschrieben, und das stimmt auch nicht.
> Also mein Problem ist einfach, dass ich versucht habe
> auszurechnen:
> [mm]\phi(f_1(\alpha_1))[/mm] = [mm]\phi(\alpha_1^3[/mm] + [mm]\alpha_1[/mm] + 1) =
> [mm]\alpha_2^3[/mm] ??
Aber [mm] f_1(\alpha_1) [/mm] ist doch 0, so ist [mm] \alpha_1 [/mm] doch gerade gewählt. Und die Koeffizienten von [mm] f_1 [/mm] liegen im Grundkörper, bleiben also unter [mm] \phi [/mm] unverändert. Und [mm] \phi [/mm] soll ein Isomorphismus werden, ist also strukturerhaltend. [mm] \phi(\alpha_1) [/mm] liegt in K2 und muß nach dem eben Gesagten eine Nullstelle von [mm] f_1 [/mm] sein. Z. B. durch Probieren finde ich, daß [mm] \alpha_2^3 [/mm] so eine ist. Die anderen habe ich dir auch aufgeschrieben. Das Bild von [mm] \alpha_1 [/mm] unter [mm] \phi [/mm] muß eine dieser 3 Nullstellen sein.
Alle anderen Bilder und damit ganz [mm] \phi [/mm] liegen dann fest, wieder, weil [mm] \phi [/mm] strukturerhaltend ist: [mm] \phi(x*y) [/mm] = [mm] \phi(x)*\phi(y) [/mm] und [mm] \phi(x+y) [/mm] = [mm] \phi(x)+\phi(y)
[/mm]
Aus der allgemeinen Theorie der endl. Körper weiß man auch, daß es genau 3 Isomorphismen geben muß.
Gruß
Dieter
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Hallo Dieter,
sorry, dass ich gerade so dazwischen schalte ... ich habe das nun auch länger verfolgt, kann dir aber leider (wahrscheinlich wegen mangelnder Kenntnis und der Schwierigkeit dieses Themas) nicht folgen.
Könntest du das nochmal ganz ganz einfach erklären? Für Anfänger???
Das wäre echt voll lieb von dir ...
Also ich kann mir unter einem Quotientenring auch nichts vorstellen...
Was bedeutet denn [mm] K_{1}=\bruch{\IF_{2}}{(f_{1}(x))} [/mm] ... teilt man da einen Körper durch ein Polynom??? (Sorry, die Frage ist wahrscheinlich richtig dooof ... aber ich kann mit dieser Notation irgendwie nichts anfangen :-( *schnief*)
Und dann der Körperisomorphismus muss ja von [mm] K_{1} [/mm] nach [mm] K_{2} [/mm] gehen, d.h. doch mein Urbild wäre [mm] K_{1} [/mm] und das wird auf [mm] K_{2} [/mm] abegbildet.
Wenn ich nun [mm] \alpha [/mm] _{1} als Nullstelle des Polynoms [mm] f_{1}(x) [/mm] bestimme ... wie komme ich dann zu [mm] \alpha_{2} [/mm] und [mm] \alpha_{2}^3???
[/mm]
Was ist mein [mm] \alpha_{2}? [/mm] Die Nullstelle vom zweiten Polynom?
Wäre dir echt sehr sehr dankbar, wenn du es mir mal erklären könntest ... ich blick da nämlich gar nicht durch :-(
*help*
Liebe Grüße
Kittycat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Do 27.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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