Körpererweiterung vom Grad 2^k < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Di 29.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Sei E/K eine Körpererweiterung mit [mm] [E:K]=2^k [/mm] für ein k [mm] \in \IN_0. [/mm] Sei f [mm] \in [/mm] K[X] ein Polynom vom Grade 3, welches in E eine Nullstelle besitzt. Zeigen Sie, dass f in K eine Nullstelle besitzt. |
Hallo,
also für k=0 folgt aus [E:K]=1 E = K und somit hat jedes Polynom, dass in E eine Nullstelle besitzt auch eine in K.
Ich weiß nun nicht wie ich für k>0 anfangen soll. Ein Tipp wäre super!
Vielen Dank!
Grüße
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Hallo,
> Sei E/K eine Körpererweiterung mit [mm][E:K]=2^k[/mm] für ein k
> [mm]\in \IN_0.[/mm] Sei f [mm]\in[/mm] K[X] ein Polynom vom Grade 3, welches
> in E eine Nullstelle besitzt. Zeigen Sie, dass f in K eine Nullstelle besitzt.
> Hallo,
> also für k=0 folgt aus [E:K]=1 E = K und somit hat jedes
> Polynom, dass in E eine Nullstelle besitzt auch eine in K.
>
> Ich weiß nun nicht wie ich für k>0 anfangen soll. Ein
> Tipp wäre super!
Sei [mm] \alpha\in [/mm] E Nullstelle von f in E. Angenommen f hat keine Nullstelle in K. Dann gilt [mm] [K(\alpha):K]=3, [/mm] da f dann das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] ist und f Grad 3 hat. Das widerspricht der Turmformel, derzufolge alle Zwischenerweiterungen eine Zweierpotenz als Grad über dem Grundkörper K haben müssen.
LG
>
> Vielen Dank!
>
> Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Di 29.05.2012 | | Autor: | teo |
Ok, von der Turmformel hab ich noch nie was gehört. Werd mir das mal angucken! Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Mi 30.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, von der Turmformel hab ich noch nie was gehört. Werd
> mir das mal angucken! Vielen Dank!
Der Satz ist uebrigens auch als Multiplikationssatz fuer Koerpergrade / Koerperdimensionen / ... bekannt. Hilft dir vielleicht beim Finden, wenn du ihn noch nicht gefunden hast :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mi 30.05.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo,
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> > Sei E/K eine Körpererweiterung mit [mm][E:K]=2^k[/mm] für ein k
> > [mm]\in \IN_0.[/mm] Sei f [mm]\in[/mm] K[X] ein Polynom vom Grade 3, welches
> > in E eine Nullstelle besitzt. Zeigen Sie, dass f in K eine
> Nullstelle besitzt.
> > Hallo,
> > also für k=0 folgt aus [E:K]=1 E = K und somit hat
> jedes
> > Polynom, dass in E eine Nullstelle besitzt auch eine in K.
> >
> > Ich weiß nun nicht wie ich für k>0 anfangen soll. Ein
> > Tipp wäre super!
> Sei [mm]\alpha\in[/mm] E Nullstelle von f in E. Angenommen f hat
> keine Nullstelle in K. Dann gilt [mm][K(\alpha):K]=3,[/mm] da f dann
> das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] ist und f Grad 3 hat. Das
> widerspricht der Turmformel, derzufolge alle
> Zwischenerweiterungen eine Zweierpotenz als Grad über dem
> Grundkörper K haben müssen.
>
Hallo, eine Frage hätte ich hierzu noch. Zum Polynom f ist ja hier nix mehr angegeben. Woher kann ich nun einfach sagen, dass f Minimalpolynom von a ist. Es ist ja weder gesagt, dass f normiert noch irreduzibel ist?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 30.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei E/K eine Körpererweiterung mit [mm][E:K]=2^k[/mm] für ein k
> > > [mm]\in \IN_0.[/mm] Sei f [mm]\in[/mm] K[X] ein Polynom vom Grade 3, welches
> > > in E eine Nullstelle besitzt. Zeigen Sie, dass f in K eine
> > Nullstelle besitzt.
> > > Hallo,
> > > also für k=0 folgt aus [E:K]=1 E = K und somit hat
> > jedes
> > > Polynom, dass in E eine Nullstelle besitzt auch eine in K.
> > >
> > > Ich weiß nun nicht wie ich für k>0 anfangen soll. Ein
> > > Tipp wäre super!
> > Sei [mm]\alpha\in[/mm] E Nullstelle von f in E. Angenommen f hat
> > keine Nullstelle in K. Dann gilt [mm][K(\alpha):K]=3,[/mm] da f dann
> > das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] ist und f Grad 3 hat. Das
> > widerspricht der Turmformel, derzufolge alle
> > Zwischenerweiterungen eine Zweierpotenz als Grad über dem
> > Grundkörper K haben müssen.
>
> Hallo, eine Frage hätte ich hierzu noch. Zum Polynom f ist
> ja hier nix mehr angegeben. Woher kann ich nun einfach
> sagen, dass f Minimalpolynom von a ist. Es ist ja weder
> gesagt, dass f normiert noch irreduzibel ist?
Jedes Polynom von Grad 3 ueber einem Koerper $K$, welches keine Nullstelle in $K$ hat, ist irreduzibel. (Wenn es nicht irreduzibel ist, muss es einen Faktor von Grad 1 geben, womit es eine Nullstelle in $K$ hat.) Deswegen muss das Polynom irreduzibel sein (da ja angenommen wird, es habe keine Nullstelle in $K$).
Es stimmt, dass es nicht umbedingt das Minimalpolynom sein muss. Aber es ist von der Form [mm] $\lambda \cdot [/mm] g$, wobei [mm] $\lambda \in K^\ast$ [/mm] und $g$ das echte Minimalpolynom ist. (Hier ist [mm] $\lambda$ [/mm] der Leitkoeffizient von $f$.) Bei einer solchen Zerlegung ist das Polynom $f$ genau dann irreduzibel, wenn $g$ irreduzibel ist; und da $g$ irreduzibel und (bei passender Wahl von [mm] $\lambda$) [/mm] als normiert vorausgesetzt werden kann, muss $g$ dann das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] sein. Da [mm] $\deg [/mm] f = [mm] \deg [/mm] g$ kannst du anstelle mit $g$ (Minimalpolynom) genauso mit $f$ argumentieren.
LG Felix
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