Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 19.10.2008 | | Autor: | tugba |
| Aufgabe 1 | Sei [mm] f(x)=x^{3}+2*x+2 \in \IQ[x]
[/mm]
Sei [mm] K:=\IQ(\alpha)\subset\IR [/mm] die von der Nullstelle [mm] \alpha [/mm] erzeugte Körpererweiterung. Bringen Sie die folgenden Elemente [mm] \beta\in [/mm] K in Normalform [mm] \beta=\alpha+b*\alpha+a*\alpha^{2}:
[/mm]
(a) [mm] \beta=(\alpha-1)^{3}
[/mm]
(b) [mm] \alpha^{-1}
[/mm]
(c) [mm] (\alpha-1)/(\alpha+1) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Was ändert sich an der Rechnung wenn [mm] \alpha [/mm] eine der zwei komplexen Nullstellen von f ist? |
Hallo,
Könnte jemand bitte mal nachgucken, ob die Lösungen soweit richtig sind.
zu(a): Nach Vorrausstezung ist [mm] \alpha^{3}+2*\alpha+2=0, [/mm] also [mm] \alpha^{3}=-2*\alpha-2 [/mm] und daher gilt für [mm] (\alpha-1)^{3}=\alpha^{3}-3*\alpha^{2}+3*\alpha-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow(\alpha-1)^{3}=(-2*\alpha-2)-3*\alpha^{2}+3*\alpha-1= -3*\alpha^{2}+\alpha-3
[/mm]
zu (b): [mm] ggT(\alpha^{3}+2*\alpha+2,\alpha)=1, [/mm] Division mit Rest ergibt: [mm] \alpha^{3}+2*\alpha+2=(\alpha^{2}+2)*\alpha+2
[/mm]
in [mm] \IQ(\alpha):(\alpha^{2}+2)*\alpha=-2 \gdw 1/\alpha= -1/2*\alpha^{2}-1
[/mm]
zu (c) hier bin ich überhaupt nicht sicher: Es ist [mm] \alpha^{3}+2*\alpha+2 \Rightarrow \alpha=-1/2*\alpha^{3}-1. [/mm] daraus folgt für [mm] (\alpha-1)=(-1/2*\alpha^{3}-1)-1=-1/2*\alpha^{3}-2. [/mm] Jetzt rechne ich [mm] 1/(\alpha+1) [/mm] aus: es gilt [mm] ggT(-1/2*\alpha^{3}-2,\alpha+1)=1
[/mm]
Division mit Rest ergibt: [mm] -1/2*\alpha^{3}-2=(-1/2*\alpha^{2}+1/2*\alpha-1/2)*(\alpha+1)-3/2
[/mm]
in [mm] \IQ(\alpha): (-1/2*\alpha^{2}+1/2*\alpha-1/2)*(\alpha+1)=3/2
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1/(\alpha+1)= -1/3*\alpha^{2}+1/3*\alpha-2/3
[/mm]
zu der zweiten Aufgabe wusste ich kein Antwort, aber meiner Meinung nach würde sich an der Rechnungen nichts ändern, wieso das so ist kann ich aber nicht begründen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:09 Mo 20.10.2008 | | Autor: | tayfun |
versuch mal mit dieser Zerlegung
[mm] \bruch{\alpha - 1}{\alpha + 1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{2}{\alpha + 1}
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{\alpha +1} [/mm] = [mm] -\alpha^{2} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] - 1
und somit ist
[mm] \bruch{\alpha - 1}{\alpha + 1} [/mm] = [mm] 2\alpha^2-2\alpha+3
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:43 Mo 20.10.2008 | | Autor: | tugba |
danke für deine Hilfe...
|
|
|
|
