Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Galoisgruppe der Körpererweiterung [mm] \IF_{2^8} [/mm] über [mm] \IF_{2}. [/mm] |
Ich habe gelesen, dass die Galoisgruppe dieser Körpererweiterung zyklisch ist und von Ordnung 8 und dass sie vom Frobeniushomomorphismus x [mm] \mapsto x^{2} [/mm] erzeugt wird.
Kann mir das jemand erklären bzw. mich auf eine geeignete Quelle verweisen?
Ist es allgemein bei Körpererweiterungen [mm] \IF_{p^n} [/mm] über [mm] \IF_{p} [/mm] mit p Primzahl so, dass die Galoisgruppe dann zyklisch von Ordnung n ist und vom Frobeniushom. x [mm] \mapsto x^{p} [/mm] erzeugt wird? Für eine Quelle/Begründung wär ich sehr dankbar...
Ebenso für eine Begründung, dass die Untergruppen der Galoisgruppe im obigen Beispiel die Körperkette [mm] \IF_{2} \le \IF_{2^2} \le \IF_{2^4} \le \IF_{2^8} [/mm] liefert.
Gibt es hier immer für jeden Teiler von n einen Zwischenkörper in der Körperkette?
Vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Mo 07.07.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Kann mir das jemand erklären bzw. mich auf eine geeignete
> Quelle verweisen?
Das sollte sich in jedem guten Algebra-Lehrbuch finden lassen. Ganz sicher steht es bei
van der Waerden, Algebra I (inzwischen etwas altmodisch)
Lang, Algebra (ein tolles Buch)
und
Serre, Cours d'Arithmétique/A Course in Arithmetic (noch toller, aber für Zahlentheorie)
Die Theorie der endlichen Körper (inkl. ihrer Galois-Erweiterungen) hat man vollständig im Griff.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mi 09.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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