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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | | Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeige, R ist genau dann ein Körper, wenn R genau 2 Ideale hat. |
Hallo zusammen,
ich hab ehrlich gesagt nicht gerade viel Ahnung wie ich an die Aufgabe gehen soll.
[mm] \Rightarrow: [/mm] Hier hab ich als Vor., dass R ein Körper ist, d.h., dass die Menge der Einheiten genau R [mm] \setminus [/mm] 0 ist. Aber wie komm ich jetzt aus dieser Voraussetzung darauf, dass R nur 2 Ideale hat? Wo liegt denn hier der Zusammenhang? Oder muss ich hier was anderes machen?
[mm] \Leftarrow [/mm] : Vor: R hat genau 2 Ideale.
Hier muss ja dann meiner Meinung nach gelten, dass diese Ideale die trivialen Ideale 0 und R sind, oder? Jetzt könnte ich hier vielleicht etwas über das Erzeugnis von a, welches ja genau als [mm] ()_{R} [/mm] = [mm] \{ x*a | x \in R\} [/mm] definiert ist, machen. Aber dann hörts auch schon auf.
Hättet ihr ein paar Tipps für mich?
Vielen Dank und viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeige, R ist genau
> dann ein Körper, wenn R genau 2 Ideale hat.
> [mm]\Rightarrow:[/mm] Hier hab ich als Vor., dass R ein Körper
> ist, d.h., dass die Menge der Einheiten genau R [mm]\setminus[/mm] 0
> ist. Aber wie komm ich jetzt aus dieser Voraussetzung
> darauf, dass R nur 2 Ideale hat? Wo liegt denn hier der
> Zusammenhang? Oder muss ich hier was anderes machen?
Nimm dir ein Ideal [mm] \mathcal{I}, [/mm] welches ein [mm]a \not= 0[/mm] enthält.
Zeige dann, dass [mm]\mathcal{I} = R[/mm] ist.
> [mm]\Leftarrow[/mm] : Vor: R hat genau 2 Ideale.
> Hier muss ja dann meiner Meinung nach gelten, dass diese
> Ideale die trivialen Ideale 0 und R sind, oder?
Ja, dies sind immer Ideale.
> Jetzt könnte ich hier vielleicht etwas über das Erzeugnis von a,
> welches ja genau als [mm]()_{R}[/mm] = [mm]\{ x*a | x \in R\}[/mm]
> definiert ist, machen. Aber dann hörts auch schon auf.
Das ist eine gute Idee.
Es kann ja [mm]()_{R}[/mm] entweder nur das Null-Ideal oder ganz R sein, per Vorrausetzung.
Kann es das Null-Ideal sein? Wann und Wieso?
Da du einen kommutativen Ring mit Eins hast, bleibt dir ja nur noch die Existenz von multiplikativ Inversen zu zeigen. Dies folgt aber aus [mm]()_{R}=R, \forall a \not= 0[/mm]. Wieso?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 So 11.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hi Merle,
> vielen Dank für deine Hilfe.
> Also bei der Hinrichtung zeig ich jetzt einfach, dass es
> außer dem Nullideal nur noch das Ideal R gibt. Dazu nehm
> ich mir ein Ideal a [mm]\not=[/mm] 0 und nehme an, dass es nicht R
> ist und führe das zum Widerspruch. Aber wie genau mach ich
> das denn? Kannst du mir hier noch einen Ansatz geben?
Wenn a im Ideal [mm] \mathcal{I} [/mm] ist, dann ist [mm]()_{R}[/mm] ja eine Teilmenge von [mm] \mathcal{I}.
[/mm]
Es ist aber [mm]()_{R}=R[/mm], da R ein Körper ist. Wieso?
> Und bei der Rückrichtung: Meiner Meinung nach kann [mm]()_R[/mm]
> das Null_ideal nur sein wenn [mm] \red{a} [/mm] = o oder?
Ja.
> Den Rest deiner Antwort versteh ich aber nicht so
> wirklich. Warum gilt denn:
> > Dies folgt aber aus [mm]()_{R}=R, \forall a \not= 0[/mm].<
>
> Versteh ich nicht, was du hiermit meinst?
Es gibt per Voraussetzung nur zwei Ideale in R.
Es gibt in einem Ring immer mindestens zwei Ideale, nämlich 0 und R.
Da [mm]a \not= 0[/mm] ist, muss also [mm]()_{R}=R[/mm] sein. Und das für jedes bel. [mm]a \not= 0[/mm].
> Und wenn ich das dann aber gezeigt haben sollte, dann folgt
> daraus, dass es sich um einen Körper handelt? Kannst du mir
> viieleicht hier auch noch kurz erklären, warum es reicht
> das zu zeigen?
Du brauchst für jedes [mm]a \not= 0[/mm] ein multiplikativ Inverses.
Schau dir das Ideal [mm]()_{R}[/mm] an. Es ist ja ganz R. Wieso folgt daraus, dass a ein multiplikativ Inverses hat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 So 11.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
euch allen vielen Dank für eure Hilfe!
Ich denk ich hab's jetzt!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 So 11.01.2009 | | Autor: | gwh |
Bei der "Hinrichtung" ist zu zeigen: Jedes Ideal a (außer 0) ist identisch mit R. Dazu genügt es zu zeigen, dass 1 ein Element von a ist.
Für die Gegenrichtung ist zu zeigen: Jedes a [mm] \in [/mm] R (außer 0) hat ein multiplikatives Inverses. Dazu kann man, wie du schon vorgeschlagen hast, das von a erzeugte Ideal (a) betrachten. Dieses muss aber ja R sein...
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