Körper einer Menge < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 19.11.2008 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, das die Menge [mm] \IQ(\wurzel{2}):=\{a+b*\wurzel{2}|a,b \in \IQ\} \subset \IR [/mm] mit der Addition und Multiplikation wie in [mm] \IR [/mm] einen Körper bildet. |
Wie kann man einen Beweis anfangen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 19.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Zeige, dass die Körpereigenschaften erfüllt sind.
Kennst Du die ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 19.11.2008 | | Autor: | eppi1981 |
d.h soll ich zeigen :
1. Additive
i. a+(b+c)=(a+b)+c
ii. a+b = b+a
iii. 0 [mm] \in \IQ(\wurzel{2})
[/mm]
iv. (-a) +a=0
2. Multiplikative
i. a*(b*c)=(a*b)*c
ii. a*b=b*a
iii. 1*a=a
iv. [mm] a^{-1}*a=1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 19.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> d.h soll ich zeigen :
>
> 1. Additive
> i. a+(b+c)=(a+b)+c
> ii. a+b = b+a
> iii. 0 [mm]\in \IQ(\wurzel{2})[/mm]
> iv. (-a) +a=0
> 2. Multiplikative
> i. a*(b*c)=(a*b)*c
> ii. a*b=b*a
> iii. 1*a=a
> iv. [mm]a^{-1}*a=1[/mm]
So ist es. Wenn Du Dich geschickt anstellst, kannst Du immens abkürzen.
Als Beispiel:Wenn Du in [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] zeigen willst, dass a+b = b+a gilt, so kannst Du 2 Wege einschlagen:
1. Stumpfes nachrechnen
oder
2. berufe Dich auf die Addition in [mm] \IR
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 19.11.2008 | | Autor: | eppi1981 |
zur Additive i.
Seien a,b,c [mm] \inQ;
[/mm]
[mm] a=a_{1}+a_{2}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] b=b_{1}+b_{2}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] c=c_{1}+c_{2}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] a+(b+c)=a_{1}+a_{2}\wurzel{2}+(b_{1}+b_{2}\wurzel{2}+c_{1}+c_{2}\wurzel{2})= a_{1}+b_{1}+c_{1}+(a_{2}+b_{2}+c_{2})\wurzel{2}
[/mm]
[mm] (a+b)+c=(a_{1}+a_{2}\wurzel{2}+b_{1}+b_{2}\wurzel{2})+c_{1}+c_{2}\wurzel{2}=a_{1}+b_{1}+c_{1}+(a_{2}+b_{2}+c_{2})\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a+(b+c)=(a+b)+c
ist das richtig?
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Hallo eppi1981,
> zur Additive i.
>
> Seien a,b,c [mm]\inQ;[/mm]
> [mm]a=a_{1}+a_{2}\wurzel{2}[/mm]
> [mm]b=b_{1}+b_{2}\wurzel{2}[/mm]
> [mm]c=c_{1}+c_{2}\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]a+(b+c)=a_{1}+a_{2}\wurzel{2}+(b_{1}+b_{2}\wurzel{2}+c_{1}+c_{2}\wurzel{2})= a_{1}+b_{1}+c_{1}+(a_{2}+b_{2}+c_{2})\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm](a+b)+c=(a_{1}+a_{2}\wurzel{2}+b_{1}+b_{2}\wurzel{2})+c_{1}+c_{2}\wurzel{2}=a_{1}+b_{1}+c_{1}+(a_{2}+b_{2}+c_{2})\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a+(b+c)=(a+b)+c
>
> ist das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
passt!
LG
schachuzipus
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