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| Aufgabe 1 | Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum endlicher K-Dimension und U, W K-Teilräume von V. Man zeige: Gilt
(a)
U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{0_V \} [/mm] und W ist ein maximaler K-Dimension unter allen Teilräumen T von V mit der Eigenschaft U [mm] \cap [/mm] T = [mm] \{0_V \}
[/mm]
(b)
U + W = V und W ist W ist von minimaler K-Dimension uter allen Teilräumen T von V mit der Eigenschaft U+ T = V
so folgt: V = U [mm] \oplus [/mm] W.
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| Aufgabe 2 | | GIlt im Falle [mm] dim_K [/mm] U [mm] +dim_K [/mm] W > [mm] dim_K [/mm] V stets U [mm] \cap [/mm] W [mm] \not= \{0_V \}?, [/mm] U + W = V? |
Also. Diese beiden Aufgaben gehören eigentlich zusammen, aber um es besser zu trennen, habe ich diese so aufgeteilt.
Mein Problem ist, dass mir klar ist, was ich bei der 1. Aufgabe zeigen soll, aber leider nicht weiß, wie ich das zeigen soll.
Ich muss ja zeigen, dass wenn die Voraussetzung von (a), also U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{0_V \}, [/mm] erfüllt ist, so muss auch U + W = V gelten.
Wenn die Voraussetzung von (b) gegeben ist, also U + W = , so muss dann auch U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{0_V \} [/mm] gelten.
Aber wie zeige ich dieses???
Zu Aufgabe 2 kann ich mich leider nicht äußern, da ich diese Aufgabe leider nicht verstehe. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 22.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also verstehe ich die Aufgabe 1 richtig, dass a) und b) getrennte Aufgabenteile sind, deren Bedingungen nicht gleichzeitig gelten sollen ?!?
Diese Form der Notation ist übrigens äußerst irreführend, denn in normalen Sätzen findet man Aussagen, wie :
Gilt
a) ..
und b)..
dann folgt (Aussage)
also beides gleichzeitig muss dann erfüllt sein - dies ist hier aber offensichtlich nicht so gemeint - hier meint man, dass man Aufgabenteile a) und b) getrennt lösen soll !
kommen wir zum Lösen:
also a)
angenommen der Schnitt ist schon nur die 0 , aber W ist auch noch von maximaler Dimension, was heißt dann das?
also sei dim(V)=n und und dim(U)=k , dann muss dim(W)=n-k sein... (warum?)
wieso kann man nun alle Vektoren aus V als Linkombi in U bzw W (anteilig) darstellen? Nimm dir mal eine Basis aus U und ergänze diese mit einer aus W, was erhälst du dann?
analog bei b) W hat diesmal minimale dimension, also wieder mit ähnlichen Überlegung wie oben : dim(W)=n-k
warum muss jetzt der schnitt leer (bis auf 0) sein ?
angenommen es gäbe noch einen Vektor darin, kann dann W schon minimal sein? Was könnte man mit W noch machen, damit es noch kleiner wird und der Schnitt den Vektor nicht mehr enthält?
so, bei Aufgabe 2) haben wir wieder zwei Teilaufgaben, richtig?
also wenn beide dimensionen von U und W zusammen echt größer als die von V wären und der Schnitt nur die 0 enthalten würde, was könntest du wieder mit den Basen von U und W machen? wieso geht diese Ergänzung nicht ?
beim zeiten Teil reicht ein Gegenbeispiel:
nimm dir den [mm] $\IR^3 [/mm] = V$ und einen zweidimensionalen Unterraum T deiner Wahl, setze U=T und W=T und schaue, was passiert..
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:29 So 22.01.2006 | | Autor: | tommy1234 |
Hallo,
schon mal vielen Dank für deine Antwort. Nur leider komme ich trotzdem nicht weiter, kannst du das oder jemand anderes vielleicht noch ein wenig präziser schreiben???
Bitte, vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Mo 23.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit antworten.
Vielleicht hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
PStefan
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