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| Aufgabe | Sei K ein Körper .
Zeige : K[x]/(x²-x) [mm] \cong [/mm] K x K |
Jaaa ,ich hab da nicht den leisesten Schimmer.
Im Tutorium hat man die Abbildung
phi : K[x]/(x²-x) [mm] \to [/mm] K x K mit
mit f [mm] \mapsto [/mm] ( f(0), f(1) )
definiert .
Dann weiß ich ,dass vielfache von x²-x auf die Nullabgebildet wird ,Der Kern von phi wäre nicht weiteres als [mm] x^2-x [/mm] .Die Abbildung soll nach dem Tutor auch surjektiv sein(surjektivität ist klar ),und damit wäre durch den Homomorphiesatz isomorph zueinander.(Dies hat er alles verbal erklärt ,für mich war das nicht so ganz verständlich)
Ich hoffe ihr könnt dabei behilflich sein den Homomorphiesatz draufbezogen anzuwenden.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der Homomorphiesatz für Ringe geht ja so: Seien A, B Ringe (kommutative Ringe mit 1) und $f:A [mm] \rightarrow [/mm] B$ ein Homomorphismus. Dann gilt [mm] $A/ker(f)\cong [/mm] im(f)$.
Hier ist $A=K[x]$ und $f(P)=(P(0), P(1))$ [mm] ($P\in [/mm] K[x]$). Weil f surjektiv ist, gilt $im(f)=K [mm] \times [/mm] K$. Der Kern von f ist (x²-x). Alles oben einsetzen liefert das gewünschte Ergebnis!
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