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| Aufgabe | a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse an!
b) Was ist [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] im Körper mit 5 Elementen?
c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an. |
Hallo,
ich habe einige Probleme bei dieser Aufgabe.
a) Darf man hier auch natürliche Zahlen verwenden, oder muss man (bis auf die neutralen Elemente 0 und 1) abstrakte Elemente nehmen, z. B. 0, 1, a, b, c, d, e?
Die Definition für das multiplikative Inverse lautet:
Zu jedem $a [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash \{0\}$ [/mm] existiert das multiplikative Inverse [mm] $a^{-1}$ [/mm] mit [mm] $a^{-1}*a=1.$
[/mm]
Ich probiere es mal...
Für 1: [mm] $\bruch{1}{1}*1 [/mm] = 1$
Für a: [mm] $\bruch{1}{a}*a [/mm] = 1$
Für b: [mm] $\bruch{1}{b}*b [/mm] = 1$
usw.
Allerdings bezweifle ich, dass das so richtig ist...?
b) Hier finde ich leider nicht mal einen eigenen Ansatz...
c) Ich wage mich mal an einen Ansatz heran:
K = {0, 1, a, b, c, d, e, f, g, h, i}
[mm] $\begin{array}{c|c c c c c c c c c c c}
+ & 0 & 1 & a & b & c & d & e & f & g & h & i\\
\hline
0 & 0 & 1 & a & b & c & d & e & f & g & h & i\\
1 & 1 & 0 & b & c & d & e & f & g & h & i & a\\
a & a & b & \\
b & b & c\\
c & c & d\\
d & d & e\\
e & e & f\\
f & f & g\\
g & g & h\\
h & h & i\\
i & i & a\\
\end{array}$
[/mm]
Stimmt dieser Weg (wenn ja, was wäre dann z.B. a + a?)?
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mo 11.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
zu a) du nimmst dir die Menge der Restklassen also: {1,2,3,4,5,6} jetzt musst du die Zahlen nehmen und schauen welche miteinander multipliziert den Rest 1 modulo 7 haben. Für die b) brauchst du das dann weil ja 2/3 = [mm] 2*3^{-1} [/mm] ist. Das kannst du dann also schnell hinschreiben.
Grüße
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| Aufgabe | a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse an!
b) Was ist $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ im Körper mit 5 Elementen?
c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an. |
Hallo teo,
> zu a) du nimmst dir die Menge der Restklassen also:
> {1,2,3,4,5,6} jetzt musst du die Zahlen nehmen und schauen
> welche miteinander multipliziert den Rest 1 modulo 7 haben.
warum ist die 0 nicht in dieser Menge (es hieß ja 7 Elemente)?
1 mod 7 = 1
1 * 1 = 1 mod 7 = 1
2 * 4 = 8 mod 7 = 1
3 * 5 = 15 mod 7 = 1
4 * 2 = 8 mod 7 = 1
5 * 3 = 15 mod 7 = 1
6 * 6 = 36 mod 7 = 1
Meintest Du das so bzw. was ist dann das "multiplikative Inverse"?
> Für die b) brauchst du das dann weil ja 2/3 = [mm]2*3^{-1}[/mm]
> ist. Das kannst du dann also schnell hinschreiben.
Hier habe ich auch noch Verständnisschwierigkeiten, aber vielleicht verstehe ich die b), wenn ich die a) verstanden habe.
Zur c): Denke mal ich war mit meiner Tabelle auf dem Holzweg...?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Di 12.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen
> Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse
> an!
> b) Was ist [mm]\bruch{2}{3}[/mm] im Körper mit 5 Elementen?
> c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und
> Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an.
> Hallo teo,
>
> > zu a) du nimmst dir die Menge der Restklassen also:
> > {1,2,3,4,5,6} jetzt musst du die Zahlen nehmen und schauen
> > welche miteinander multipliziert den Rest 1 modulo 7
> haben.
>
> warum ist die 0 nicht in dieser Menge (es hieß ja 7
> Elemente)?
>
Ja! Die Null ist natürlich drin. Hab sie nich reingeschrieben, weil in der Angabe "außer 0" stand. Aber natürlich ist [mm] \IZ/_{7\IZ} [/mm] = {0,1,2,3,4,5,6}.
> 1 mod 7 = 1
>
> 1 * 1 = 1 mod 7 = 1
> 2 * 4 = 8 mod 7 = 1
> 3 * 5 = 15 mod 7 = 1
> 4 * 2 = 8 mod 7 = 1
> 5 * 3 = 15 mod 7 = 1
> 6 * 6 = 36 mod 7 = 1
>
Genau! Das multiplikative inverse zu 2 ist hier also 4.
> Meintest Du das so bzw. was ist dann das "multiplikative
> Inverse"?
>
> > Für die b) brauchst du das dann weil ja 2/3 = [mm]2*3^{-1}[/mm]
> > ist. Das kannst du dann also schnell hinschreiben.
>
> Hier habe ich auch noch Verständnisschwierigkeiten, aber
> vielleicht verstehe ich die b), wenn ich die a) verstanden
> habe.
>
Division im Körper ist immer die Multiplikation mit dem Inversen. In deiner Tabelle ist [mm] 3^{-1}= [/mm] 5 also ist 2/3 = 2*5 = ? <- hier wieder genau wie oben modulo 7 rechnen
> Zur c): Denke mal ich war mit meiner Tabelle auf dem
> Holzweg...?
Ja. Einfach die Elemente {0,1,...,10} miteinander multiplizieren bzw. addieren und hier dann modulo 11 rechnen.
> Gruß
> el_grecco
>
Grüße
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| Aufgabe | a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse an!
b) Was ist $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ im Körper mit 5 Elementen?
c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an. |
Hallo teo,
Danke für die rasche Antwort.
> Division im Körper ist immer die Multiplikation mit dem
> Inversen. In deiner Tabelle ist [mm]3^{-1}=[/mm] 5 also ist 2/3 =
> 2*5 = ? <- hier wieder genau wie oben modulo 7 rechnen
Bei der b) heißt es "Körper mit 5 Elementen". Darf mann dennoch die Ergebnisse aus a) (Körper mit 7 Elementen) verwenden bzw. mod 7 rechnen?
Zur c)
> Ja. Einfach die Elemente {0,1,...,10} miteinander
> multiplizieren bzw. addieren und hier dann modulo 11
> rechnen.
[mm] $\begin{array}{c|c c c c c c c c c c c}
+ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0\\
2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1\\
3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2\\
4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3\\
5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
8 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
9 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
10 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\end{array}$
[/mm]
So sollte das denke ich stimmen (Multiplikation dann analog)?
Gruß
el_grecco
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Hallo,
> > Division im Körper ist immer die Multiplikation mit dem
> > Inversen. In deiner Tabelle ist [mm]3^{-1}=[/mm] 5 also ist 2/3 =
> > 2*5 = ? <- hier wieder genau wie oben modulo 7 rechnen
>
> Bei der b) heißt es "Körper mit 5 Elementen". Darf mann
> dennoch die Ergebnisse aus a) (Körper mit 7 Elementen)
> verwenden bzw. mod 7 rechnen?
Nein, ja nicht. Die Menge aller Restklassen modulo m bildet genau dann bezüglich der Addition und Multiplikation von Restklassen einen Körper, wenn m prim ist. Daher die verwendeten Mächtigkeiten in dieser Aufgabe (das sind nämlich alles Primzahlen!). Bei der Aufgabe b) betrachtest du somit den Restklassenkörper modulo 5 und musst dementsprechend alles modulo 5 rechnen.
> Zur c)
>
> > Ja. Einfach die Elemente {0,1,...,10} miteinander
> > multiplizieren bzw. addieren und hier dann modulo 11
> > rechnen.
>
> [mm]$\begin{array}{c|c c c c c c c c c c c} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0\\
2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1\\
3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2\\
4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3\\
5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
8 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
9 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
10 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\end{array}$[/mm]
>
> So sollte das denke ich stimmen (Multiplikation dann
> analog)?
Die Additionstabelle stimmt. Was meinst du mit analog bei der Multiplikation?
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse an!
b) Was ist $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ im Körper mit 5 Elementen?
c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an. |
Hallo Diophant/Hallo theo,
Danke für Eure Hilfe.
Zur b)
{0, 1, 2, 3, 4}
1*1 = 1 mod 5 = 1
2*3 = 6 mod 5 = 1
3*2 = 6 mod 5 = 1
4*4 = 16 mod 5 = 1
[mm] $3^{-1} [/mm] = 2$
2/3 = 2*2 = 4 mod 5 = 4
Stimmt das so?
Zur c)
> Die Additionstabelle stimmt. Was meinst du mit analog bei
> der Multiplikation?
Naja, die gleiche Kopfzeile/-spalte wie bei der Addition, dann das Produkt (statt der Summe) mod 11.
Gruß
el_grecco
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Hallo,
> Zur b)
>
> {0, 1, 2, 3, 4}
>
> 1*1 = 1 mod 5 = 1
> 2*3 = 6 mod 5 = 1
> 3*2 = 6 mod 5 = 1
> 4*4 = 16 mod 5 = 1
>
> [mm]3^{-1} = 2[/mm]
>
> 2/3 = 2*2 = 4 mod 5 = 4
>
> Stimmt das so?
Ja: alle Inversen sind richtig und der Quotient passt somit auch.
>
> Zur c)
>
> > Die Additionstabelle stimmt. Was meinst du mit analog bei
> > der Multiplikation?
>
> Naja, die gleiche Kopfzeile/-spalte wie bei der Addition,
> dann das Produkt (statt der Summe) mod 11.
Naja, dass mit den Zeilen- und Spaltenköpfen hatte ich als selbstverständlich vorausgesetzt. Aber wenn du die Produkte richtig einträgst, dann passt es. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Di 12.06.2012 | | Autor: | teo |
> a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen
> Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse
> an!
> b) Was ist [mm]\bruch{2}{3}[/mm] im Körper mit 5 Elementen?
> c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und
> Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an.
> Hallo teo,
>
> Danke für die rasche Antwort.
>
> > Division im Körper ist immer die Multiplikation mit dem
> > Inversen. In deiner Tabelle ist [mm]3^{-1}=[/mm] 5 also ist 2/3 =
> > 2*5 = ? <- hier wieder genau wie oben modulo 7 rechnen
>
> Bei der b) heißt es "Körper mit 5 Elementen". Darf mann
> dennoch die Ergebnisse aus a) (Körper mit 7 Elementen)
> verwenden bzw. mod 7 rechnen?
Nein natürlich modulo 5. Das habe ich überlesen. Entschuldigung.
>
> Zur c)
>
> > Ja. Einfach die Elemente {0,1,...,10} miteinander
> > multiplizieren bzw. addieren und hier dann modulo 11
> > rechnen.
>
> [mm]$\begin{array}{c|c c c c c c c c c c c}
+ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0\\
2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1\\
3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2\\
4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3\\
5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
8 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
9 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
10 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\end{array}$[/mm]
>
> So sollte das denke ich stimmen (Multiplikation dann
> analog)?
>
> Gruß
> el_grecco
>
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