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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 So 26.10.2008 | | Autor: | Mooni |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass Q² unter den folgenden Operationen ein Körper ist.
Addition +:
+ : Q² × Q² - > Q2
((x1, y1), (x2, y2)) -> (x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2) ,
Multiplikation ·:
· : Q² × Q² -> Q²
((x1, y1), (x2, y2)) -> (x1, y1) · (x2, y2) := (x1x2 + 2y1y2, x1y2 + x2y1) |
Hallo Leute,
ich habe hier eine Aufgabe von meinem Übungszettel und habe überhaupt keine ahnung wie ich die beweisen soll.
Ich weiß zwar was ich zeigen muss, aber kriege es irgdnwie nicht hin. Vielleicht könnt ihr mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend.
Also zu prüfen ist:
Mit der So definierten Abbildung(Addition und Multiplikation) von [mm] Q^2 \times Q^2 \rightarrow Q^2 [/mm] bildet [mm] Q^2 [/mm] eine kommutative Gruppe bzgl der Addition und [mm] Q^2\\{0\} [/mm] bildet eine kommutative Gruppe bzgl der Multiplikation. Weiterhin gilt das Distributivgesetz, d.h, wenn du a,b,c [mm] \in Q^2 [/mm] nimmst, dann muss gelten (a+b)c=ac+bc. Jetzt musst du einfach die Gruppenaxiome abarbeiten. Ich fang mal mit der kommutativen Gruppe bzgl der Addition an:
Zuerst einmal muss Abgeschlossenheit gelten: Wenn du zwei Elemente aus [mm] Q^2 [/mm] nimmst und diese addierst, muss wieder ein Element aus [mm] Q^2 [/mm] rauskommen, was offensichtlich der Fall ist.
Assoziativität: hier prüfst du (a+b)+c=a+(b+c). Einfach einsetzen, das folgt einfach aus der Assoziativität der normalen Addition. Und so machst du weiter und rechnest die Axiome nach. Sind alle Erfüllt ist es ein Körper wenn nicht denn nicht^^
Einen schönen Abend
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