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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:19 Sa 04.11.2006 | | Autor: | kleine-Elfe |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und a, b [mm] \in \IK [/mm] . Man beweise:
a) [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1} [/mm] = (a - b) [mm] \summe_{j=0}^{n} a^{j} b^{n-j}
[/mm]
b) [mm] a^{n+1} [/mm] -1 = (a-1) [mm] \summe_{j=0}^{n} a^{j} [/mm] |
Kann mir bitte jemand bei dem Beweis für diese Aufgabe helfen? Danke schonmal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Sa 04.11.2006 | | Autor: | solling |
Versuch es über vollständige Induktion.
In beiden Fällen ist für n=1 die Gleichung wahr.
Nun schließe von n auf n+1
Gruß aus dem Solling
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kann mir denn keiner helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 So 05.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Elfe!
Ich glaube bei dieser Aufgabe könnte es um Wiederholung und Anwendung der Körperaxiome gehen. Da ich nicht weiß ob induktive Beweise in allen Körpern berechtigt bzw gültig sind würde ich eher den direkten Weg wählen. Meint:
zeige mit Hilfe der Körperaxiome das deine genannten Gleichungen gelten. Fange dann am besten mit der rechten Seite an und überführe sie in die Linke.
Gib dabei das jeweilige Axiom an, das du benutzt hast.
Alles klar??
MfG
Sahman
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"Fange dann am besten mit der rechten Seite an und überführe sie in die Linke."
Das verstehe ich irgendwie nicht. Wie kann ich denn die linke seite mit der rechten beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 05.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elfe!
> "Fange dann am besten mit der rechten Seite an und
> überführe sie in die Linke."
>
> Das verstehe ich irgendwie nicht. Wie kann ich denn die
> linke seite mit der rechten beweisen?
Du faengst mit der rechten Seite an, und formst sie so lange um, bis du bei der linken angekommen bist.
Schreib dir doch mal die Gleichung aus (a) fuer den Fall $n = 3$ auf und schreibe die Summe aus. Und rechne es in diesem konkreten Fall aus. Bekommst du jetzt eine Idee, wie du das im allgemeinen Fall loesen kannst?
Und wenn du (a) hast, kannst du (b) sofort hinschreiben. Das solltest du aber selber rausfinden, es ist wirklich nicht schwer...
LG Felix
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oh man, irgendwie bekomme ich das nicht hin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Elfe!
werd dir mal Teilaufgabe b) für $n=2$ vorrechnen.
zu zeigen: [mm] $a^{2+1}-1=(a-1)*\sum_{k=0}^2a^k$
[/mm]
sei zwischenzeitlich [mm] $\sum_{k=0}^2a^k=b$ [/mm] dann ist
[mm] $(a-1)*\sum_{k=0}^2a^k=(a-1)*b=a*\sum_{k=0}^2a^k+(-1)*\sum_{k=0}^2a^k=\sum_{k=0}^2a^{k+1}+(-1)*\sum_{k=0}^2a^k=\sum_{k=1}^3a^k+(-1)*1+(-1)*\sum_{k=1}^2a^k=\sum_{k=1}^3a^k-\sum_{k=1}^2a^k-1=a^3-1$
[/mm]
und das [mm] $a^3-1=a^{2+1}-1$ [/mm] ist versteht sich von selbst.
Wann wurde welches Körperaxiom verwendet?? Das mußt du als Begründung über das jeweilige = schreiben.
Und nun du mit dem Rest.
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 So 05.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sahman!
> Ich glaube bei dieser Aufgabe könnte es um Wiederholung und
> Anwendung der Körperaxiome gehen. Da ich nicht weiß ob
> induktive Beweise in allen Körpern berechtigt bzw gültig
> sind würde ich eher den direkten Weg wählen. Meint:
Doch, vollstaendige Induktion kannst du ueberall machen. Du benutzt hier ja nicht die natuerlichen Zahlen in [mm] $\mathbb{K}$, [/mm] sondern die ``normalen'' natuerlichen Zahlen.
LG Felix
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