Koeffizientenmatrix beweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 22.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] = (A, b) die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystem mit einer m × n-Matrix A
und b ∈ R
m und sei [mm] L(\mathcal{A}) [/mm] die Lösungsmenge von [mm] \mathcal{A}, [/mm] bzw. L(A) die Lösungsmenge von A = (A, 0). Beweisen
oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
a) [mm] L(\mathcal{A}) [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] falls b als Spalte in A auftritt.
b) [mm] L(\mathcal{A}) [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] falls m < n.
c) [mm] L(\mathcal{A}) [/mm] besteht aus genau einem Element, falls m = n.
d) Sind x, y ∈ L(A), dann ist auch x + y ∈ L(A). |
a) Wenn b z.B. die zweite Spalte ist, ist eine Lösung
[mm] x_{2}=1 [/mm] und alle anderen xi = 0.
also: falsche Aussage
b) Wenn [mm] \mathcal{A} [/mm] so aussieht
1 0 0 1
1 0 0 1
ist m=2 und n=3 aber eine Losung ist [mm] x_{1}=1 x_{2}=0 x_{3}=0 [/mm]
also: falsche Aussage
c)
1 0 1
1 0 1
m=n=2 aber Lösungen sind z.B.
[mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=0 [/mm] aber auch
[mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=2
[/mm]
also: falsche Aussage
d) Richtig, da
A*x = 0 und A*y = 0 also auch A (x+y) = 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:36 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] = (A, b) die erweiterte Koeffizientenmatrix
> eines linearen Gleichungssystem mit einer m × n-Matrix A
> und b ∈ R
> m und sei [mm]L(\mathcal{A})[/mm] die Lösungsmenge von
> [mm]\mathcal{A},[/mm] bzw. L(A) die Lösungsmenge von A = (A, 0).
> Beweisen
> oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
> a) [mm]L(\mathcal{A})[/mm] = [mm]\emptyset,[/mm] falls b als Spalte in A
> auftritt.
> b) [mm]L(\mathcal{A})[/mm] = [mm]\emptyset,[/mm] falls m < n.
> c) [mm]L(\mathcal{A})[/mm] besteht aus genau einem Element, falls m
> = n.
> d) Sind x, y ∈ L(A), dann ist auch x + y ∈ L(A).
> a) Wenn b z.B. die zweite Spalte ist, ist eine Lösung
> [mm]x_{2}=1[/mm] und alle anderen xi = 0.
> also: falsche Aussage
Da muss man schon hellsehen können, um zu verstehen, was Du meinst. Du meinst etwa das
0 b b
0 b b
>
> b) Wenn [mm]\mathcal{A}[/mm] so aussieht
> 1 0 0 1
> 1 0 0 1
> ist m=2 und n=3 aber eine Losung ist [mm]x_{1}=1 x_{2}=0 x_{3}=0[/mm]
> also: falsche Aussage
O.K.
>
> c)
> 1 0 1
> 1 0 1
> m=n=2 aber Lösungen sind z.B.
> [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=0[/mm] aber auch
> [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=2[/mm]
> also: falsche Aussage
O.K.
>
> d) Richtig, da
> A*x = 0 und A*y = 0 also auch A (x+y) = 0
O.k:
FRED
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