Koeffizienten bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Hallo Leute! Also ich habe eine Matrix A gegeben:
A= [mm] \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}
[/mm]
Nun sollen alle Koeffizienten des charakteristischen Polynoms dieser 3 x 3 Matrix mit Einträgen aus dem Körper K bestimmt werden.
Das ist eine blöde Aufgabe und ich hoffe sehr stark auf Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> Hallo Leute! Also ich habe eine Matrix A gegeben:
>
> A= [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}[/mm]
>
> Nun sollen alle Koeffizienten des charakteristischen
> Polynoms dieser 3 x 3 Matrix mit Einträgen aus dem Körper K
> bestimmt werden.
Hallo,
wenn ich es recht verstehe, mußt Du das charakteristische Polynom von A aufschreiben,
also die Determinante von [mm] \pmat{x-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{21} & x-a_{22} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{32} & x-a_{33}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Gut ok, also die Determinante habe ich aufgestellt, aber wie komme ich jetzt an die Koeffizienten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Nicole!
> Gut ok, also die Determinante habe ich aufgestellt, aber
> wie komme ich jetzt an die Koeffizienten?
Indem du die ausgerechnete Determinante nach Potenzen von x sortierst.
Ist nicht [mm] P_{A}(x) [/mm] = det(xI - A)? Bei Angela sind die Vorzeichen nicht korrekt.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Gut also ich habe bei meiner Determinanten x³ und x² und x. Aber meine Determinante ist irre lang und es lässt sich nichts weg kürzen. Mein Ergebnis ist bis hierhin folgendes:
[mm] a_{13}a_{22}a_{31}-xa_{31}a_{13}+a_{11}a_{23}a_{32}-xa_{23}a_{32}+a_{21}a_{33}a_{12}-xa_{21}a_{12}-a_{11}a_{22}a_{33}+xa_{11}a_{22}+xa_{11}a_{33}-x²a_{11}+xa_{22}a_{33}-x²a_{22}-x²a_{33}+x³-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Und wie gehts jetzt weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
> Gut also ich habe bei meiner Determinanten x³ und x² und x.
Und das Glied ohne x ...
> Aber meine Determinante ist irre lang und es lässt sich
> nichts wegkürzen. Mein Ergebnis ist bis hierhin
> folgendes:
>
> [mm]a_{13}a_{22}a_{31}-xa_{31}a_{13}+a_{11}a_{23}a_{32}-xa_{23}a_{32}+a_{21}a_{33}a_{12}-xa_{21}a_{12}-a_{11}a_{22}a_{33}+xa_{11}a_{22}+xa_{11}a_{33}-x²a_{11}+xa_{22}a_{33}-x²a_{22}-x²a_{33}+x³-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
> Und wie gehts jetzt weiter?
Du hast ja nicht wirklich sortiert! Und dann müßtest du ausklammern. Bei [mm] x^{3} [/mm] steht als Koeffizient eine 1, das ist leicht. Der von x ist nicht wirklich prickelnd. Aber vielleicht fällt dir an den beiden anderen noch was auf ...
(... wenn du dir A noch mal genau anguckst.)
Rinjehaun
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Also der Koeffizient von x²müsste doch -1 sein oder nicht?
Und bei x fällt mir auf dass das die Diagonalelemente von a sind oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
Also in aller Ruhe und Freundschaft:
> Also der Koeffizient von x²müsste doch -1 sein oder nicht?
> Und bei x fällt mir auf dass das die Diagonalelemente von
> a sind oder nicht?
Es ist
[mm] a_{13}a_{22}a_{31}-xa_{31}a_{13}+a_{11}a_{23}a_{32}-xa_{23}a_{32}+a_{21}a_{33}a_{12}-xa_{21}a_{12}-a_{11}a_{22}a_{33}+xa_{11}a_{22}+xa_{11}a_{33}-x²a_{11}+xa_{22}a_{33}-x²a_{22}-x²a_{33}+x³-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32} [/mm]
=
[mm] x³-x²a_{11}-x²a_{22}-x²a_{33}-xa_{23}a_{32}+xa_{11}a_{22}+xa_{11}a_{33}+xa_{22}a_{33}-xa_{31}a_{13}-xa_{21}a_{12}+a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{21}a_{33}a_{12}-a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}
[/mm]
=
[mm] x³-(a_{11}-a_{22}-a_{33})x²+(...)x+a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{21}a_{33}a_{12}-a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}
[/mm]
LG
Dieter
|
|
|
|
