Koeffizienten, Fourierreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:30 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die reelle Fourierreihe der Funktion
[mm] y(t)=\begin{cases} 1-sin(\bruch{2\pi}{T}t) & \mbox{für } nT+\bruch{T}{2}
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Hallo Matheraum!
Bezüglich der oben gestellten Aufgabe hätte ich die folgende Frage:
Woran erkennt man, dass die Fourier-Reihe der Funktion sowohl gerade Koeffizieizen [mm] a_{n} [/mm] als auch ungerade Koeffizienten [mm] b_{n} [/mm] besitzt? Im Zuge einer Skizzenanfertigung würde man ja auf den ersten Blick zunächst nur ungerade Koeffizienten vermuten, da die Funktion an der y(t)-Achse nicht gespiegelt werden kann.
Möglicherweise liegt es jedoch daran, dass die Funktion für hinreichend viele (in diesem Fall unendlich viele) Punkte ungleich 0 ist, bzw. dass sich die Funktion in den sinus-förimgen Bereich sowie in den Bereich der Konstanten Funktion 1 aufteilen lässt. Denn die wäre dann ja durchaus an der y(t)-Achse spiegelbar, sodass dieser Teil der Funktion wohlmöglich für die Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] verantwortlich ist.
Über einen hilfreichen Tipp von euch würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
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> Berechnen Sie die reelle Fourierreihe der Funktion
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> [mm]y(t)=\begin{cases} 1-sin(\bruch{2\pi}{T}t) & \mbox{für } nT+\bruch{T}{2}
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> Hallo Matheraum!
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> Bezüglich der oben gestellten Aufgabe hätte ich die
> folgende Frage:
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> Woran erkennt man, dass die Fourier-Reihe der Funktion
> sowohl gerade Koeffizieizen [mm]a_{n}[/mm] als auch ungerade
> Koeffizienten [mm]b_{n}[/mm] besitzt?
Hallo,
es ist so:
wenn die Funktion f gerade ist - also symmetrisch zur y-Achse - dann sind alle Koeffizienten [mm] b_n [/mm] ungleich 0,
und wenn die Funktion ungerade ist - also punktsymmetrisch zum Ursprung - dann fallen die [mm] a_n [/mm] weg.
Nun skizzier Dir mal eine Periode Deiner Funktion, etwa über dem Intervall [0,T], stell Dir die Chose periodisch nach links und rechts fortgesetzt vor, und entscheide, ob eine der obigen Symmetrien vorliegt.
Oder, noch schlauer: skizzier die Funktion von -T/2 bis T/2.
Nun hoffe ich, daß ich auf das geantwortet habe, was Du wissen wolltest...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> > Berechnen Sie die reelle Fourierreihe der Funktion
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> >
> > [mm]y(t)=\begin{cases} 1-sin(\bruch{2\pi}{T}t) & \mbox{für } nT+\bruch{T}{2}
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> > Hallo Matheraum!
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> >
> > Bezüglich der oben gestellten Aufgabe hätte ich die
> > folgende Frage:
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> >
> > Woran erkennt man, dass die Fourier-Reihe der Funktion
> > sowohl gerade Koeffizieizen [mm]a_{n}[/mm] als auch ungerade
> > Koeffizienten [mm]b_{n}[/mm] besitzt?
>
> Hallo,
>
> es ist so:
> wenn die Funktion f gerade ist - also symmetrisch zur
> y-Achse - dann sind alle Koeffizienten [mm]b_n[/mm] ungleich 0,
> und wenn die Funktion ungerade ist - also punktsymmetrisch
> zum Ursprung - dann fallen die [mm]a_n[/mm] weg.
>
> Nun skizzier Dir mal eine Periode Deiner Funktion, etwa
> über dem Intervall [0,T], stell Dir die Chose periodisch
> nach links und rechts fortgesetzt vor, und entscheide, ob
> eine der obigen Symmetrien vorliegt.
>
> Oder, noch schlauer: skizzier die Funktion von -T/2 bis
> T/2.
Die Funktion würde auf dem Intervall mit [mm] t\in[-\bruch{T}{2},0) [/mm] den sinus-förmigen Funktionsteil annehmen und auf dem Intervall mit [mm] t\in[0,\bruch{T}{2}) [/mm] den konstanten Funktionsteil.
Die Frage ist nun, ob es erlaubt ist, die beiden Funktionsteile getrennt voneinander zu betrachten. Wenn ja, würde ich vermuten, dass die [mm] b_{n} [/mm] von dem zuerst genannten Intervall stammen und die [mm] a_{n} [/mm] entsprechend von dem konstanten Funktionsteil. Denn wenn überhaupt, könnte ich höchstens die Funktion 1 an der f(t)-Achse spiegeln.
Was mein(s)t du/ihr dazu?
Gruß, Marcel
> Nun hoffe ich, daß ich auf das geantwortet habe, was Du
> wissen wolltest...
>
> Gruß v. Angela
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> > > Berechnen Sie die reelle Fourierreihe der Funktion
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> > > [mm]y(t)=\begin{cases} 1-sin(\bruch{2\pi}{T}t) & \mbox{für } nT+\bruch{T}{2}
>
> Die Funktion würde auf dem Intervall mit
> [mm]t\in[-\bruch{T}{2},0)[/mm] den sinus-förmigen Funktionsteil
> annehmen und auf dem Intervall mit [mm]t\in[0,\bruch{T}{2})[/mm] den
> konstanten Funktionsteil.
Hallo,
eben.
Und diese Funktion ist offensichtlich weder gerade noch ungerade,
so daß Du streng nach Vorschrift die [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] ausrechnen kannst.
>
>
> Die Frage ist nun, ob es erlaubt ist, die beiden
> Funktionsteile getrennt voneinander zu betrachten.
Irgendwie weiß ich nicht genau, was Du meinst.
Rechne jetzt einfach die Integrale aus.
Bei weiteren Fragen mußt Du mal konkret posten, was Du Dir vorstellst - also die Integrale, die Du zu berechnen gedenkst.
Gruß v. Angela
> > wissen wolltest...
> >
> > Gruß v. Angela
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> > > > Berechnen Sie die reelle Fourierreihe der Funktion
> > > >
> > > >
> > > > [mm]y(t)=\begin{cases} 1-sin(\bruch{2\pi}{T}t) & \mbox{für } nT+\bruch{T}{2}
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> >
> > Die Funktion würde auf dem Intervall mit
> > [mm]t\in[-\bruch{T}{2},0)[/mm] den sinus-förmigen Funktionsteil
> > annehmen und auf dem Intervall mit [mm]t\in[0,\bruch{T}{2})[/mm] den
> > konstanten Funktionsteil.
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> Hallo,
>
> eben.
>
> Und diese Funktion ist offensichtlich weder gerade noch
> ungerade,
>
> so daß Du streng nach Vorschrift die [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]
> ausrechnen kannst.
>
> >
> >
> > Die Frage ist nun, ob es erlaubt ist, die beiden
> > Funktionsteile getrennt voneinander zu betrachten.
>
> Irgendwie weiß ich nicht genau, was Du meinst.
> Rechne jetzt einfach die Integrale aus.
Ich würde dann wie folgt ansetzen:
[mm] a_{n}=\bruch{2}{T}[\integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{(1-sin(\bruch{2\pi}{T}t))*cos(n\omega_{0}t) dt}+\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{1*cos(n\omega_{0}t) dt}]
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{2}{T}[\integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{(1-sin(\bruch{2\pi}{T}t))*sin(n\omega_{0}t) dt}+\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{1*sin(n\omega_{0}t) dt}]
[/mm]
Den Fall n=1 müsste ich dann jeweils extra berechnen, da die entsprechenden Stammfunkionen über den Fall n=1 (Division durch 0) keine Aussage zulassen.
Wäre das so in Ordnung?
> Bei weiteren Fragen mußt Du mal konkret posten, was Du Dir
> vorstellst - also die Integrale, die Du zu berechnen
> gedenkst.
>
> Gruß v. Angela
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> > > Gruß v. Angela
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> > > > > [mm]y(t)=\begin{cases} 1-sin(\bruch{2\pi}{T}t) & \mbox{für } nT+\bruch{T}{2}
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> > > Die Funktion würde auf dem Intervall mit
> > > [mm]t\in[-\bruch{T}{2},0)[/mm] den sinus-förmigen Funktionsteil
> > > annehmen und auf dem Intervall mit [mm]t\in[0,\bruch{T}{2})[/mm] den
> > > konstanten Funktionsteil.
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> > Hallo,
> >
> > eben.
> >
> > Und diese Funktion ist offensichtlich weder gerade noch
> > ungerade,
> >
> > so daß Du streng nach Vorschrift die [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]
> > ausrechnen kannst.
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> > > Die Frage ist nun, ob es erlaubt ist, die beiden
> > > Funktionsteile getrennt voneinander zu betrachten.
> >
> > Irgendwie weiß ich nicht genau, was Du meinst.
> > Rechne jetzt einfach die Integrale aus.
>
>
>
> Ich würde dann wie folgt ansetzen:
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> [mm]a_{n}=\bruch{2}{T}[\integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{(1-sin(\bruch{2\pi}{T}t))*cos(n\omega_{0}t) dt}+\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{1*cos(n\omega_{0}t) dt}][/mm]
>
>
> [mm]b_{n}=\bruch{2}{T}[\integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{(1-sin(\bruch{2\pi}{T}t))*sin(n\omega_{0}t) dt}+\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{1*sin(n\omega_{0}t) dt}][/mm]
>
>
Hallo,
die Integrale sind richtig,
>
> Den Fall n=1 müsste ich dann jeweils extra berechnen, da
> die entsprechenden Stammfunkionen über den Fall n=1
> (Division durch 0) keine Aussage zulassen.
was Du hier meinst, weiß ich nicht so recht, habe mich mit den Details der auszuführenden Integration aber auch noch nicht befaßt.
Gruß v. Angela
>
>
> Wäre das so in Ordnung?
>
>
>
> > Bei weiteren Fragen mußt Du mal konkret posten, was Du Dir
> > vorstellst - also die Integrale, die Du zu berechnen
> > gedenkst.
> >
> > Gruß v. Angela
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> > > > wissen wolltest...
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> > > > Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> > > > > > Berechnen Sie die reelle Fourierreihe der Funktion
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]y(t)=\begin{cases} 1-sin(\bruch{2\pi}{T}t) & \mbox{für } nT+\bruch{T}{2}
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> > > >
> > > > Die Funktion würde auf dem Intervall mit
> > > > [mm]t\in[-\bruch{T}{2},0)[/mm] den sinus-förmigen Funktionsteil
> > > > annehmen und auf dem Intervall mit [mm]t\in[0,\bruch{T}{2})[/mm] den
> > > > konstanten Funktionsteil.
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > eben.
> > >
> > > Und diese Funktion ist offensichtlich weder gerade noch
> > > ungerade,
> > >
> > > so daß Du streng nach Vorschrift die [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]
> > > ausrechnen kannst.
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Die Frage ist nun, ob es erlaubt ist, die beiden
> > > > Funktionsteile getrennt voneinander zu betrachten.
> > >
> > > Irgendwie weiß ich nicht genau, was Du meinst.
> > > Rechne jetzt einfach die Integrale aus.
> >
> >
> >
> > Ich würde dann wie folgt ansetzen:
> >
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> >
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{T}[\integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{(1-sin(\bruch{2\pi}{T}t))*cos(n\omega_{0}t) dt}+\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{1*cos(n\omega_{0}t) dt}][/mm]
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> [mm]b_{n}=\bruch{2}{T}[\integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{(1-sin(\bruch{2\pi}{T}t))*sin(n\omega_{0}t) dt}+\integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{1*sin(n\omega_{0}t) dt}][/mm]
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> Hallo,
>
> die Integrale sind richtig,
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> > Den Fall n=1 müsste ich dann jeweils extra berechnen, da
> > die entsprechenden Stammfunkionen über den Fall n=1
> > (Division durch 0) keine Aussage zulassen.
>
> was Du hier meinst, weiß ich nicht so recht, habe mich mit
> den Details der auszuführenden Integration aber auch noch
> nicht befaßt.
Das hat ja auch eigentlich nichts mehr mit dem Thema zu tun. Das ursprüngliche Problem wurde jedenfalls gelöst. Vielen Dank!
> Gruß v. Angela
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> > Wäre das so in Ordnung?
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> > > Bei weiteren Fragen mußt Du mal konkret posten, was Du Dir
> > > vorstellst - also die Integrale, die Du zu berechnen
> > > gedenkst.
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> > > Gruß v. Angela
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> > >
> > > > > wissen wolltest...
> > > > >
> > > > > Gruß v. Angela
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