Koeffizenten bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] A,B\in [/mm] M (n x n, K).
a) Zeigen Sie, dass det(A+tB) ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n in t ist.
b) Bestimmen Sie die Koeffizenten von [mm] t^n. [/mm] |
Hallo,
zu der Aufagbe ist mir einiges unklar:
zu a) Wie sieht denn eigentlich die Matrix aus?? Ich weiß nur, dass sie quadratisch ist. Was bedeutet das K in der Beschreibung der Matrix M (n x n, K)? Wie ich die Determinante von einer konkreten (n x n )-Matrix zu bilden habe weiß ich, aber wie mache ich das wenn ich keine konkreten Matrix-Glieder habe ?
zu b) Wie kann ich die Koeffizenten konkret angeben wenn ich die Matrixglieder nicht kenne??
Wahrscheinlich sehe ich den Wald vor Bäumen nicht! Die Aufgabe ist bstimmt bloss umständlich gestellt. Oder????
Wer ist so nett und hilft mir auf die Sprünge?
Gruß didi_160
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Sa 15.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
vielleicht ist die Schreibweise der Determinante nicht eindeutig, deshalb melde ich mich noch einmal:
> a) Zeigen Sie, dass det(A+t*B)........
Wer hat eine Ahnung wie die Matrix aussieht und kann sie aufschreiben, von der ich den Wert der Determinante berechnen soll? Damit wäre die Nuß geknackt.
Besten Dank im Voraus und viele Grüße
didi-160
Gruß didi_160
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Mit [mm]A = (a_{ij}), B = (b_{ij})[/mm] erhältst du
[mm]\det(A+tB) = \sum~\pm \left( a_{1j_1} + t \, b_{1j_1} \right) \left( a_{2j_2} + t \, b_{2j_2} \right) \cdots \left( a_{nj_n} + t \, b_{nj_n} \right)[/mm]
Hierbei wird über alle Permutationen [mm]j_1,j_2,\ldots,j_n[/mm] der Zahlen [mm]1,2,\ldots,n[/mm] summiert. Das Vorzeichen des Produktes ist [mm]+[/mm], falls die Permutation gerade, und [mm]-[/mm], falls sie ungerade ist.
Das Produkt ergibt ausmultipliziert ein Polynom vom Grad [mm]n[/mm]. Und beim Addieren solcher Polynome kann der Grad höchstens kleiner werden. Also ist [mm]\det(A+tB)[/mm] ein Polynom von einem Grad [mm]\leq n[/mm] in [mm]t[/mm].
Und dann kann man weiter rechnen:
[mm]\det(A+tB) = \sum~\pm \left( \, t^n \left( b_{1j_1} b_{2j_2} \cdots b_{nj_n} \right) + \text{niedrigere Potenzen von} \ t \ \right)[/mm]
[mm]= \left( \, t^n \sum~\pm \left( b_{1j_1} b_{2j_2} \cdots b_{nj_n} \right) \right) + \text{niedrigere Potenzen von} \ t[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 15.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo, besten Dank zu deinem Lösungshinweis.
Folgendes leuchtet mir nicht ein:
> Das Produkt ergibt ausmultipliziert ein Polynom vom Grad [mm]n[/mm].
> Und beim Addieren solcher Polynome kann der Grad höchstens
> kleiner werden.
Wieso "kleiner" werden z.B.: [mm] (x^2+2x+3)+(2x^2+4x+5)= (3x^2+6x+8) [/mm] Der Grad ist doch unverändert. Ebenfalls z.B. [mm] (x^2+2x+3)+(4x+5)= (x^2+6x+8) [/mm] Wann hat das Polynom denn der Grad (n-1)??
> Und dann kann man weiter rechnen:
>
> [mm]\det(A+tB) = \sum~\pm \left( \, t^n \left( b_{1j_1} b_{2j_2} \cdots b_{nj_n} \right) + \text{niedrigere Potenzen von} \ t \ \right)[/mm]
Halt, halt, halt!
Muß das nicht ( [mm] b_{1j_1}* b_{2j_2}*...*b_{nj_n} [/mm] heißen? Und wo sind denn die [mm] a_1_j_1, a_2_j_2 [/mm] ...hin???
Besten Dank für deine Geduld mit mir!
Gruß didi_160
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[mm]\left( 14 \, t^{19} - 17 \, t^{11} + 8 \, t^2 - 2 \right) + \left( -17 \, t^{19} + 18 \, t^{11} + 9 \, t^3 - 101 \, t \right) + \left( 3 \, t^{19} - \, t^{11} + 4 \, t^4 -33 \right)[/mm]
Und wo die andern hin sind, fragst du?
Warum multiplizierst du nicht einfach einmal
[mm](a_{13} + t \, b_{13}) \cdot (a_{21} + t \, b_{21}) \cdot (a_{32} + t \, b_{32})[/mm]
aus? Ein bißchen mehr Eigeninitiative deinerseits wäre wünschenswert. (Du hast noch nicht einmal bemerkt, daß mein voriger Beitrag eigentlich schon die vollständige Antwort auf deine Fragen enthält.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Sa 15.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deine Geduld mit mir.
Gruß didi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 16.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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