Koeff. bei Pot.reihe bestimmen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 Sa 21.01.2006 | | Autor: | wulfen |
| Aufgabe | a) Bestimmen sie die Koeffizienten [mm] $a_{k}$ [/mm] der Potenzreihe $f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_{k} [/mm] * [mm] x^{k}$, [/mm] die folgenden drei Bedingungen genügt:
(1) $f(0)=2$
(2) $f'(0)=1$
(3) $f''(x) + 2f'(x)=0$
b) Bestimmen Sie die Abbildungssvorschrift der Funktion $f$ aus Teilaufgabe a). |
Irgendwie komm ich da auf keinen Koeffizienten der alle drei Bedingungen erfüllt. Die ersten beiden Bedingungen bekomm ich noch hin, aber dann paßt die dritte nicht mehr, weil da ja nicht x=0 gilt. Weiß vielleicht jemand ob und wie man die [mm] a_{k}'s [/mm] da berechnen kann? Oder muss ich so lange probieren, bis was paßt. Und da ich Aufgabe a) nicht hinbekomm, weiß ich zu b) natürlich auch nichts :-(
Danke für eure Hilfe
Tobias
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[mm]f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty}~k \, a_k \, x^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty}~ (k+1) \, a_{k+1} \, x^k[/mm]
[mm]f''(x) = \sum_{k=1}^{\infty}~k \, (k+1) \, a_{k+1} \, x^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty}~(k+1)(k+2) \, a_{k+2} \, x^k[/mm]
Und jetzt bilde damit den Term aus (3) und fasse unter dem Summenzeichen die Glieder mit der gleichen Potenz zusammen:
[mm]\left( \ldots \right) x^k[/mm]
Und wenn dies nun konstant 0 sein soll, müssen alle Koeffizienten [mm]\left( \ldots \right)[/mm] gleich 0 sein. Daraus erhältst du eine rekursive Beziehung für die [mm]a_k[/mm], mit der du unter Zuhilfenahme von (1) und (2) die ersten Glieder [mm]a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots[/mm] berechnen kannst. Vielleicht fällt dir ja eine Regelmäßigkeit auf, aus der du eine explizite Formel ablesen kannst.
Das Ergebnis für [mm]f(x)[/mm] ist eine leicht manipulierte e-Funktion.
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