Kochrezept für Norm und Spur < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Crispy |
| Aufgabe 1 | Sei K ein Körper [mm]char(K) \not= 2 [/mm], [mm]d \in K [/mm] kein Quadrat.
Es sei [mm]L=K ( \sqrt{d} ) [/mm].
Berechne [mm]Sp_{L/K}(a+b\sqrt{d})[/mm] und [mm]N_{L/K} ( a+b\sqrt{d} ) [/mm] für [mm]a,b \in K[/mm]. |
| Aufgabe 2 | Sei K ein Körper [mm]char(K) \not= 3 [/mm], [mm]e \in K [/mm] kein Kubus.
Es sei [mm]F=K ( \sqrt[3]{e} ) [/mm].
Berechne [mm]Sp_{F/K}(a+b\sqrt[3]{e}+c\sqrt[3]{e}^2)[/mm] und [mm]N_{F/K}(a+b\sqrt[3]{e}+c\sqrt[3]{e}^2)[/mm] für [mm]a,b,c \in K[/mm]. |
Hallo,
ich bräuchte eine Art Kochrezept für die Berechnung von Norm und Spur zur o.g. Aufgabe.
Erstmal die 1. Aufgabe.
Ich weiß zunächst, dass die Körpererweiterung endlich ist.
[mm][L:K]=n=2[/mm] und [mm]a+b\sqrt{d} \in L[/mm].
[mm]Sp_{L/K}(a+b\sqrt{d})=n\cdot (a+b\sqrt{d})=2\cdot (a+b\sqrt{d})[/mm]
[mm]N_{L/K} ( a+b\sqrt{d} ) =( a+b\sqrt{d} )^n=( a+b\sqrt{d} )^2[/mm]
Stimmt das so bislang?
Besten Dank & viele Grüße,
Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Sa 09.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Crispy!
> Sei K ein Körper [mm]char(K) \not= 2 [/mm], [mm]d \in K[/mm] kein Quadrat.
> Es sei [mm]L=K ( \sqrt{d} ) [/mm].
>
> Berechne [mm]Sp_{L/K}(a+b\sqrt{d})[/mm] und [mm]N_{L/K} ( a+b\sqrt{d} )[/mm]
> für [mm]a,b \in K[/mm].
> Sei K ein Körper [mm]char(K) \not= 3 [/mm], [mm]e \in K[/mm]
> kein Kubus.
> Es sei [mm]F=K ( \sqrt[3]{e} ) [/mm].
>
> Berechne [mm]Sp_{F/K}(a+b\sqrt[3]{e}+c\sqrt[3]{e}^2)[/mm] und
> [mm]N_{F/K}(a+b\sqrt[3]{e}+c\sqrt[3]{e}^2)[/mm] für [mm]a,b,c \in K[/mm].
>
> Hallo,
> ich bräuchte eine Art Kochrezept für die Berechnung von
> Norm und Spur zur o.g. Aufgabe.
Na, wie sind Norm und Spur denn bei euch definiert? Versuche das doch hier mal anzuwenden.
Und wenn du es nicht hinbekommst, schreib wenigstens die Definition hier her!
> Erstmal die 1. Aufgabe.
> Ich weiß zunächst, dass die Körpererweiterung endlich
> ist.
> [mm][L:K]=n=2[/mm] und [mm]a+b\sqrt{d} \in L[/mm].
Ja.
> [mm]Sp_{L/K}(a+b\sqrt{d})=n\cdot (a+b\sqrt{d})=2\cdot (a+b\sqrt{d})[/mm]
>
> [mm]N_{L/K} ( a+b\sqrt{d} ) =( a+b\sqrt{d} )^n=( a+b\sqrt{d} )^2[/mm]
>
> Stimmt das so bislang?
Nein. (Nur wenn $b = 0$ ist.) Warum sollte es auch?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Crispy |
Hallo Felix,
herzlichen Dank für Deine Antwort
Definition:
Sei [mm] g= a + b \wurzel{d}[/mm]
[mm]Sp_{L/K}(g):= \mbox{Spur } \varphi_g [/mm] und [mm]N_{L/K}(g):= \mbox{det } \varphi_g [/mm]
[mm]\varphi_g: L \to L [/mm] [mm]x \mapsto gx [/mm]
Matrixdarstellung von [mm]\varphi_g[/mm]: [mm] \pmat{ a & bd \\ b & a } [/mm] (mit K-Basis 1 und [mm]\wurzel{d} [/mm] )
[mm]Sp_{L/K}(g):= a+a = 2a [/mm] [mm]N_{L/K}(g):= a \cdot a - b \cdot bd= a^2-b^2d [/mm]
Ich hoffe ich habe es jetzt verstanden.
Gruss,
Crispy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Sa 09.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Crispy,
> Definition:
> Sei [mm]g= a + b \wurzel{d}[/mm]
>
> [mm]Sp_{L/K}(g):= \mbox{Spur } \varphi_g[/mm] und [mm]N_{L/K}(g):= \mbox{det } \varphi_g[/mm]
>
> [mm]\varphi_g: L \to L[/mm] [mm]x \mapsto gx[/mm]
>
> Matrixdarstellung von [mm]\varphi_g[/mm]: [mm]\pmat{ a & bd \\ b & a }[/mm]
> (mit K-Basis 1 und [mm]\wurzel{d}[/mm] )
>
> [mm]Sp_{L/K}(g):= a+a = 2a[/mm] [mm]N_{L/K}(g):= a \cdot a - b \cdot bd= a^2-b^2d[/mm]
>
> Ich hoffe ich habe es jetzt verstanden.
ja, jetzt stimmt es.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Crispy |
Wunderbar.
Herzlichen Dank!
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