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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 13.04.2005 | | Autor: | gmikee |
Hallo! Habe folgende Aufgabe von meinem Mathe-Lehrer bekommen, doch selbst ein Leistungskursler konnte mir da nicht behilflich sein:
f'(a)=0
f''(a)=0
f'''(a)=0
f''''(a) ungleich 0
Was ist mit a los?
Wir behandeln gerade logarithmische Funktionen und alles was ich zu dieser Aufgabe weiß ist das gerade Ableitungen (2,3,6...) Wendepunkte sind und ungerade Extremstellen. Jedoch erkenne ich nicht den Zusammenhang... Weiß einer die Lösung? Irgendeine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
die Funktion [mm] $f_a(x)=(x-a)^4$ [/mm] erfüllt die gewünschten Bedingungen. Die Funktion [mm] $f_a$ [/mm] hat bei $a$ eine 4-fache Nullstelle.
Gruß Max
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Hi, gmikee,
wenn ich mal schneller bin als Loddar, hat mich bestimmt Max bereits überholt! Ja, so ist das im Matheraum: Man lechzt geradezu nach interessanten Fragen! Will heißen, gmikee, Deine Frage ist interessant!
Und noch interessanter: Ich hätte Dir fast die gleiche Funktion vorgeschlagen wie Max.
Nur: Bei mir wäre der Einfachheit halber a=0 und daher:
f(x) = [mm] x^{4}. [/mm] Es gilt also: f(0) = 0.
f'(x) = [mm] 4x^{3}. [/mm] Also: f'(0) = 0 (Waagrechte Tangente in (0;0)!)
f''(x) = [mm] 12x^{2}. [/mm] Also: f''(0) = 0 (Sagt noch nix!)
f'''(x) = 24x. Also: f'''(0) = 0 (Schlecht für'n Wendepunkt!)
f'''(x) = 24. ALSO: f'''(0) [mm] \not=0.
[/mm]
Damit ist's klar: Bei x = 0 liegt ein Extrempunkt vor!
In meinem (und auch Maxens) Beispiel ist's ein Tiefpunkt, weil f''''(0) > 0 ist.
(Nebenbei ist's auch ein sog. "Flachpunkt", weil die Krümmung =0 ist, aber ich glaube, das ist weniger interessant! Jedenfalls ist's kein Wendepunkt!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mi 13.04.2005 | | Autor: | gmikee |
Find ich wirklich gut eure Vorschläge! Danke für die schnelle Antwort! Das werde ich dann im Mathe-Unterricht vorstellen;) Nur müsste ich das ganze in der [mm] fa(x)=(x-a)^4 [/mm] Form machen...jedoch bin ich mir nicht Sicher, was die Richtigkeit der Ableitungen angeht. Falls jemand anders noch Vorschläge hat, immer her damit! Vielen Dank bis hierhin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
Zunächst auch Dir hier ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Da ich hier in diesem Strang bereits erwähnt wurde, möchte ich also auch noch meinen Beitrag leisten  ...
Da über die Ausgangsfunktion [mm] $f_a(x)$ [/mm] keine Aussage getroffen wurde, ob dort an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ a$ ebenfalls eine Nullstelle vorliegen soll, lautet eine allgemeine(re) Lösung:
[mm] $f_{a,b,c}(x) [/mm] \ = \ b * (x- [mm] a)^4 [/mm] + c$
Begründung:
In der vorgeschriebenen Art und Weise muß für die 1. Ableitung an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ a$ eine drei-fache Nullstelle vorliegen.
Dies wird erreicht durch: $f'_{a,k}(x) \ = \ k * [mm] (x-a)^3$
[/mm]
Meine Ausgangsfunktion [mm] $f_{a,b,c}(x)$ [/mm] erhalten wir dann durch Integration sowie folgender Substitution:
$b \ := \ [mm] \bruch{k}{4}$
[/mm]
Die Ableitungen kannst Du doch ziemlich einfach über  Potenzregel in Verbindung mit der Kettenregel ermitteln.
Dabei fällt die Kettenregel nicht ins Gewicht, da die inneren Ableitungen stets "1" sind. (Nur der Vollständigkeit halber erwähnt.)
Was das jetzt aber mit Logarithmusfunktionen zu tun haben soll, ist mir nicht ganz klar ...
Grüße
Loddar
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