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Forum "Algebra" - Kleinsche Vierergrupp isomorph
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Kleinsche Vierergrupp isomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:15 Do 30.04.2020
Autor: inkeddude

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Kleinsche Vierergruppe [mm] $K_{4} [/mm] := [mm] \{ id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}$ [/mm] isomorph  zu [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$. [/mm]

Finde Sie außerdem alle Untergruppen der [mm] $\mathbb{S}_{4}$, [/mm] die isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ [/mm] sind.


Guten Morgen, ich bräuchte etwas Hilfe dabei, zu zeigen, dass [mm] $K_{4}$ [/mm] isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ [/mm] ist.


Wir haben die Menge [mm] $K_{4}$ [/mm] und die [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} [/mm] =   [mm] \{([0], [0]), ([0], [1]), ([1], [0]), ([1], [1]) \}$. [/mm]

[mm] $(K_{4}, \circ)$ [/mm] und [mm] $(\mathbb{Z}_{2}, [/mm] +) $  sind Gruppen.

Ich habe nachgerechnet, dass [mm] $(\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}, [/mm] + ) $ eine Gruppe ist, wenn die Addition ihrer Elemente so definiert ist:

$([a], [b]) + ([c], [d])= ([a] + [b], [c] + [d]) = ([a + b], [c + d])$).



Mit der Gruppe [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} [/mm]  $ meint man doch die Menge [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} [/mm]  $ bzgl. + , oder ?

Oder auch die bzgl. [mm] $\cdot$ [/mm] ?



Ich weiß nicht genau, wie ich zeigen soll, dass [mm] $K_{4}$ [/mm] isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} [/mm]  $ ist.


Mir fällt dazu nur der Satz von Cayley ein, den wir letztens behandelt haben:


"Sei $G$ eine Gruppe. Dann existiert eine Menge $M$ und ein injektiver Gruppenhomomorphismus $f: G [mm] \rightarrow \mathbb{S}(M)$. [/mm]

Ist $g$ endlich, so kann man $M$ auch endlich wählen.

Insbesondere kann man jede Gruppe als Untergruppe der Permutationsgruppe einer Menge auffassen. "

Mit $M$ meint man hier eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ? Oder kann $M$ eine beliebige Menge sein ?



[mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ [/mm] ist endlich, somit kann ich $M$ auch endlich wählen.

Mit dieser Menge $M$ (wie auch immer sie aussieht), gibt es dann einen injektiven Gruppenhomomorphismus


$f:  [mm] ($\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ [/mm] , +) [mm] \rightarrow [/mm] Sym(M)$.


Ich weiß halt nicht, was $M$ für eine Menge sein soll und welche Abbildungsvorschrift $f$ haben soll, damit $f$ ein injektiver GH ist.


Ich hoffe, mir kann jemand helfen.




mfg, Inkeddude


        
Bezug
Kleinsche Vierergrupp isomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Do 30.04.2020
Autor: statler

Hallo!

> Zeigen Sie, dass die Kleinsche Vierergruppe [mm]K_{4} := \{ id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}[/mm]
> isomorph  zu [mm]\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}[/mm].
>  
> Finde Sie außerdem alle Untergruppen der [mm]\mathbb{S}_{4}[/mm],
> die isomorph zu [mm]\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}[/mm] sind.
>  

Dein Quellcode ist ja grauenvoll :)
Ein Teil deiner Aufgabe ist doch zu zeigen, daß du für M die Menge [mm] \{1, 2, 3, 4\} [/mm] nehmen kannst, weil bei euch anscheinend die Vierergruppe als Untergruppe der Symmetriegruppe genau dieser Menge M realisiert ist.
Die Isomorphie zeigst du am einfachsten, indem du den Isomorphismus [mm] \varphi [/mm] einfach angibst. Beide Mengen haben 4 Elemente, also machst du eine Liste, welches Element von [mm] \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} [/mm] auf welches Element der Vierergruppe abgebildet wird. Dann mußt du anschließend vorrechnen, daß deine Abbildung [mm] \varphi [/mm] ein Isomorphismus, also strukturerhaltend ist.
Es ist in Wirklichkeit ganz einfach, wenn du berücksichtigst, daß das neutrale Element immer auf das neutrale Element abgebildet wird. (Der Rest muß nur noch bijektiv sein.)
Gruß aus HH
Dieter


Bezug
                
Bezug
Kleinsche Vierergrupp isomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Sa 02.05.2020
Autor: inkeddude

Hi :-)

> Dein Quellcode ist ja grauenvoll :)

Ja, das geht bestimmt sauberer :-D


> Ein Teil deiner Aufgabe ist doch zu zeigen, daß du für M
> die Menge [mm]\{1, 2, 3, 4\}[/mm] nehmen kannst, weil bei euch
> anscheinend die Vierergruppe als Untergruppe der
> Symmetriegruppe genau dieser Menge M realisiert ist.
>  Die Isomorphie zeigst du am einfachsten, indem du den
> Isomorphismus [mm]\varphi[/mm] einfach angibst. Beide Mengen haben 4
> Elemente, also machst du eine Liste, welches Element von
> [mm]\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}[/mm] auf welches Element
> der Vierergruppe abgebildet wird. Dann mußt du
> anschließend vorrechnen, daß deine Abbildung [mm]\varphi[/mm] ein
> Isomorphismus, also strukturerhaltend ist.
> Es ist in Wirklichkeit ganz einfach, wenn du
> berücksichtigst, daß das neutrale Element immer auf das
> neutrale Element abgebildet wird. (Der Rest muß nur noch
> bijektiv sein.)
>  Gruß aus HH
>  Dieter
>  


Ich habe mittlerweile einen Isomorphismus zwischen beiden Mengen bestimmt.

Hättest du vielleicht einen Tipp, wie man die Untergruppen von [mm] $S_4$ [/mm] findet, die isomorph zu  [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ [/mm] sind ?

Ich meine, man kann alle $4$ - elementigen Untergruppen durchgehen und schauen, ob man da jeweils zu [mm] $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ [/mm] eine Isomorphismus findet.


Aber ich denke nicht, dass das zielführend ist. Gibt es da eine bessere Methode ?


mfg, Inkeddude

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Bezug
Kleinsche Vierergrupp isomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Sa 02.05.2020
Autor: statler

Hallo!

> Ich habe mittlerweile einen Isomorphismus zwischen beiden
> Mengen bestimmt.

Sehr schön!

> Hättest du vielleicht einen Tipp, wie man die Untergruppen
> von [mm]S_4[/mm] findet, die isomorph zu  [mm]\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}[/mm]
> sind ?

[mm]\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}[/mm] besteht aus einem Element der Ordnung 1 und drei Elementen der Ordnung 2. Dann such doch mal alle Elemente der [mm] $S_4$, [/mm] die die Ordnung 2 haben. Aus denen und dem neutralen Element kannst du dann deine gesuchten Untergruppen zusammenbauen - hoffentlich.

Die [mm] S_4 [/mm] hängt übrigens eng mit den Kongruenzabbildungen des regelmäßigen Tetraeders zusammen, vielleicht hilft das auch. Alle Mathematik ist Geometrie!

Gruß Dieter


Bezug
                                
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Kleinsche Vierergrupp isomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 So 03.05.2020
Autor: inkeddude

Hallo


> Element der Ordnung 1 und drei Elementen der Ordnung 2.
> Dann such doch mal alle Elemente der [mm]S_4[/mm], die die Ordnung 2
> haben. Aus denen und dem neutralen Element kannst du dann
> deine gesuchten Untergruppen zusammenbauen - hoffentlich.

Danke für den Tipp.


Die Elemente von [mm] $S_4$ [/mm] mit Ordnung $2$ sind:


$(12), (13), (14), (23), (24), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23)$.


Warum genau ist es von Wichtigkeit, dass ich die  Elemente von Ordnung $2$ (und natürlich auch das neutrale Element)  betrachte ?

Wieso könnte ich mit den restlichen Elementen von [mm] $S_4$, [/mm] die nicht Ordnung 2 haben, nichts anfangen ?



> Die [mm]S_4[/mm] hängt übrigens eng mit den Kongruenzabbildungen
> des regelmäßigen Tetraeders zusammen, vielleicht hilft
> das auch. Alle Mathematik ist Geometrie!

Die Ansicht teile ich auch. :-)


mfg, Inkeddude


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Kleinsche Vierergrupp isomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 So 03.05.2020
Autor: statler

Guten Tag!
>
> Die Elemente von [mm]S_4[/mm] mit Ordnung [mm]2[/mm] sind:
>  
>
> [mm](12), (13), (14), (23), (24), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23)[/mm].
>  
>
> Warum genau ist es von Wichtigkeit, dass ich die  Elemente
> von Ordnung [mm]2[/mm] (und natürlich auch das neutrale Element)  
> betrachte ?
>  
> Wieso könnte ich mit den restlichen Elementen von [mm]S_4[/mm], die
> nicht Ordnung 2 haben, nichts anfangen ?
>  

Weil bei einem Isomorphismus das Bild eines Elementes der Ordnung 2 auch wieder die Ordnung 2 hat!

Gruß Dieter

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