Kleines Problem Umformung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Fr 17.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo, sehe in Büchern immer wieder sowas hier:
|a| < 1
|a| = [mm] \bruch{1}{(1+h)^{n}}
[/mm]
Wie kommt man auf diese Umformung? Danke.
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Huhu,
die "Umformung" ist gar keine.
Ohne weitere Informationen, können wir dir da wohl nicht helfen.
Das einzige, was allgemein gilt, ist wohl, dass du immer so ein h und ein n finden wirst, so dass diese Gleichheit gilt, aber was du damit anfangen willst, keine Ahnung.
Also poste doch mal, wo sowas vorkommt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Fr 17.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok. Ich dachte, dass das eine allgemeine Umformung ist. Aber gut.
Naja, es ging um Konvergenz:
zz. [mm] a^{n} \to [/mm] 0 , |a| < 1
Bew.:
|a| = [mm] \bruch{1}{(1+h)^{n}} \le \bruch{1}{1+hn} [/mm] < [mm] \bruch{1}{h} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Daraus folgt das [mm] |a_{n}| \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
So steht das da. Es werden halt mehrere Folgen auf Konvergenz untersucht und die geh ich gerade durch. Bei der komme ich wegen der "Umformung" nicht weiter.
Naja, dass nicht der Betrag konvergiert, sondern auch [mm] a_{n}, [/mm] ist da auch gezeigt, aber das ist für mein Problem ja unrelevant. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Fr 17.12.2010 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Ok. Ich dachte, dass das eine allgemeine Umformung ist.
> Aber gut.
nein, keine Umformung.
>
> Naja, es ging um Konvergenz:
>
> zz. [mm]a^{n} \to[/mm] 0 , |a| < 1
>
> Bew.:
>
> |a| = [mm]\bruch{1}{(1+h)^{n}} \le \bruch{1}{1+hn}[/mm] <
hier wurde mit der ![[]](/images/popup.gif) Bernoulli-Ungleichung abgeschätzt.
> [mm]\bruch{1}{h}[/mm] * [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Daraus folgt das [mm]|a_{n}| \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> So steht das da. Es werden halt mehrere Folgen auf
> Konvergenz untersucht und die geh ich gerade durch. Bei der
> komme ich wegen der "Umformung" nicht weiter.
>
> Naja, dass nicht der Betrag konvergiert, sondern auch
> [mm]a_{n},[/mm] ist da auch gezeigt, aber das ist für mein Problem
> ja unrelevant. Danke.
>
>
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 17.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, meine Frage war nicht ganz deutlich.
Die Abschätzung versteh ich auch komplett, nur warum gilt:
|a| = [mm] \bruch{1}{(1+h)^{n}} [/mm] ?
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> Sry, meine Frage war nicht ganz deutlich.
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> Die Abschätzung versteh ich auch komplett, nur warum
> gilt:
>
> |a| = [mm]\bruch{1}{(1+h)^{n}}[/mm] ?
Da steht ja auch nicht |a| sondern [mm] $|a|^n [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Und wie ich schon sagte:
Gilt $|a| < 1$ so findest du ein [mm] $h\in \IR$, [/mm] so dass $|a| = [mm] \bruch{1}{1+h}$
[/mm]
Bestimme dein h doch mal selbst, dann weißt du auch, warum es das gibt.
Und wenn du diese Darstellung hast, gilt insbesonder:
[mm] $|a|^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+h)^n}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Fr 17.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, also stimmt es schon, was in dem Buch steht. Aber ich finde das ziemlich willkürlich, das so zu behaupten. Wie beweist man das denn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok, also stimmt es schon, was in dem Buch steht. Aber ich
> finde das ziemlich willkürlich, das so zu behaupten. Wie
> beweist man das denn?
Hallo,
wenn man will, dass ein Bruch kleiner als 1 ist, dann muss man nur dafür sorgen, dass der Nenner wenigstens ein winziges Stück größer ist als der Zähler.
Für JEDE beliebige positive Zahl h ist somit [mm] \bruch{1}{1+h} [/mm] kleiner als 1.
Für winzig kleine h ist dieser Bruch fast 1, und für riesig große h ist dieser Bruch fast 0.
Mit einer geeigneten Wahl von h kann man somit JEDE Zahl a zwischen 0 und 1 in der Form [mm] \bruch{1}{1+h} [/mm] darstellen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 17.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so. Jetzt verstehe ich. Also ist das garnicht genau festgelegt.
Ich hätte auch [mm] \bruch{1}{1+3h} [/mm] schreiben dürfen, wenn h [mm] \ge [/mm] 0 ?
Jetzt nur theoretisch gedacht ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Ach so. Jetzt verstehe ich. Also ist das garnicht genau
> festgelegt.
>
> Ich hätte auch [mm]\bruch{1}{1+3h}[/mm] schreiben dürfen, wenn h
> [mm]\ge[/mm] 0 ?
>
> Jetzt nur theoretisch gedacht ;)
So isses.
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