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| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{3}{4^k} [/mm] |
Hallöchen!
Ich hab da mal wieder eine Frage, es ist wahrscheinlich nicht sehr kompliziert, werde aber trotzdem nicht draus schlau.
Wenn ich mit der Formel für die Geometrische Reihe einn Grenzwert ausrechnen möchte, muss doch die Summe bei 0 Starten, oder?
Laut meinen Aufzeichnungen ist:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{3}{4^k}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{3}{4^k}-3
[/mm]
Was ich nicht nachvollziehen kann, denn die erste Reihe würde dann doch so aussehen:
[mm] {0}+\bruch{3}{4}+\bruch{3}{8}+\bruch{3}{32}+...
[/mm]
Und die Zweite so:
[mm] {0}-{2}\bruch{3}{4}-{2}\bruch{5}{8}-{2}\bruch{7}{8}-...
[/mm]
Das ist doch auf keinen Fall das Selbe, oder sehe ich da irgendetwas völlig falsch?!
Naja, vielleicht mag mir ja jemand helfen...
Liebe Grüße! ...und 1000 Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Tag,
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{3}{4^k}[/mm]
es ist [mm] \sum_{i=1}^{n}\frac{3}{4^k}
[/mm]
= (-3) + [mm] 3\cdot \sum_{k=0}^{\infty}4^{-k}= [/mm] -3 [mm] +3\cdot \frac{1-4^{-(n+1)}}{1-4^{-1}}=-3+3\cdot \frac{4}{3}\cdot (1-4^{-(n+1)})
[/mm]
und das konvergiert gegen -3+4=1.
Bei Dir wird die 3 nur einmal abgezogen, nicht bei jedem Summanden.
Gruss,
Mathias
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Wow, das ging schnell!!
Vielen Dank, Mathias!
Jetzt isset klar! 
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