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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:32 Di 26.01.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Klassenzahl von [mm] \IQ(\wurzel{34}). [/mm] |
Ich beschäftige mich nun seit einiger zeit mit der aufgabe und bin mit hilfe von (http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~appel/Klassenzahl.pdf Beispiel4.3) auch schon ein ganzes stückchen vorangekommen:
[mm] K=\IQ(\wurzel{34}), [/mm] 34=2 mod 4 [mm] \Rightarrow O_K=\IZ(\wurzel{34})
[/mm]
[mm] [K:\IQ]=2, [/mm] 34>0 [mm] \Rightarrow [/mm] n=2, s=2, t=0 wobei s die anzahl reellen und t die anzahl der imaginären einbettungen ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] M=0,5 wobei M die minkowski-konstante ist
[mm] |\Delta|=136 [/mm] wobei [mm] \Delta [/mm] die diskriminante ist
[mm] M\cdot\wurzel{\Delta}=5,83 \Rightarrow [/mm] wir müssen die primzahlen 2,3 und 5 untersuchen.
ich habe weiter folgende primidealfaktorisierungen ausgerechnet:
[mm] (2)=(2,\wurzel{34})^2
[/mm]
[mm] (3)=(3,\wurzel{34}-1)\cdot(3,\wurzel{34}+1)
[/mm]
[mm] (5)=(5,\wurzel{34}-2)\cdot(5,\wurzel{34}+2)
[/mm]
es gilt [mm] [(3,\wurzel{34}-1)]\cdot[(3,\wurzel{34}+1)]=[(3,\wurzel{34}-1)\cdot(3,\wurzel{34}+1)]=[(3)]=[(1)]
[/mm]
[mm] \Rightarrow [(3,\wurzel{34}-1)]=[(3,\wurzel{34}+1)]^{-1} [/mm] und [mm] [(5,\wurzel{34}-2)]=[(5,\wurzel{34}+2)]^{-1} [/mm] in [mm] Cl(O_K), [/mm] wobei [mm] Cl(O_K) [/mm] die klassengruppe ist.
weiter habe ich herrausgefunden, dass
[mm] (3,\wurzel{34}-1)\cdot(5,\wurzel{34}+2)=(2\cdot\wurzel{34}-11) [/mm] also hautideal ist.
demnach müssten ja [mm] (3,\wurzel{34}-1), (3,\wurzel{34}+1), (5,\wurzel{34}-2) [/mm] und [mm] (5,\wurzel{34}+2) [/mm] in einer äquivalenzklasse liegen.
fehlt also noch [mm] (2,\wurzel{34}). [/mm] hier komme ich aber nicht weiter, schaffe es nicht einmal zu zeigen ob es hauptideal ist oder nicht.
ich weiß dass die klassenzahl 2 ist. also sollte doch nur [(1)] und [mm] [(3,\wurzel{34}-1)] [/mm] in [mm] Cl(O_K) [/mm] liegen ... was ist aber mit [mm] [(2,\wurzel{34})].
[/mm]
leider hab ich in der vorlesung etwas den faden verlohren .... wär nett wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte.
lg clee
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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