Kettenbruch, periodisch < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Mi 27.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 1) Zeige dass [mm] \sqrt{a^2 +1} [/mm] die Kettenbruchentwicklung [mm] \sqrt{a^2 +1} [/mm] = [a;2a,2a..] für alle a [mm] \in \IN [/mm] besitzt.
2) Zeige dass [mm] \sqrt{a^2 +2} [/mm] die Kettenbruchentwicklung [mm] \sqrt{a^2 +1} [/mm] = [mm] [a;\overline{a,2a}] [/mm] für alle a [mm] \in \IN [/mm] besitzt. |
1)
Sei [mm] \alpha [/mm] = [2a; 2a,2a..]
Dann [mm] \alpha [/mm] = 2a + [mm] 1/\alpha [/mm]
=> [mm] \alpha [/mm] - 2a [mm] \alpha [/mm] -1 =0
[mm] \alpha [/mm] = a + [mm] \sqrt{a^2+1}
[/mm]
-> da [mm] \alpha [/mm] > 0 andere Lösung unmöglich
[mm] =>\sqrt{a^2 +1} =\alpha [/mm] -a =[a;2a,2a..]
2) Sei [mm] \epsilon [/mm] = [mm] [a;\overline{a,2a}] [/mm] = [a; a,2a,a,2a...]
Wie kann ich nun [mm] \epsilon [/mm] wie bei Bsp 1 schreiben?
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Hallo sissile,
> 1) Zeige dass [mm]\sqrt{a^2 +1}[/mm] die Kettenbruchentwicklung
> [mm]\sqrt{a^2 +1}[/mm] = [a;2a,2a..] für alle a [mm]\in \IN[/mm] besitzt.
> 2) Zeige dass [mm]\sqrt{a^2 +2}[/mm] die Kettenbruchentwicklung
> [mm]\sqrt{a^2 +1}[/mm] = [mm][a;\overline{a,2a}][/mm] für alle a [mm]\in \IN[/mm]
> besitzt.
>
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> 1)
> Sei [mm]\alpha[/mm] = [2a; 2a,2a..]
> Dann [mm]\alpha[/mm] = 2a + [mm]1/\alpha[/mm]
> => [mm]\alpha[/mm] - 2a [mm]\alpha[/mm] -1 =0
> [mm]\alpha[/mm] = a + [mm]\sqrt{a^2+1}[/mm]
> -> da [mm]\alpha[/mm] > 0 andere Lösung unmöglich
>
> [mm]=>\sqrt{a^2 +1} =\alpha[/mm] -a =[a;2a,2a..]
Ok.
> 2) Sei [mm]\epsilon[/mm] = [mm][a;\overline{a,2a}][/mm] = [a; a,2a,a,2a...]
> Wie kann ich nun [mm]\epsilon[/mm] wie bei Bsp 1 schreiben?
Schau mal bei Deiner anderen Frage, also hier.
Grüße
reverend
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