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Forum "mathematische Statistik" - Kernschätzer (KS)
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Kernschätzer (KS): Integral über KS ergibt 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mo 21.05.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Zeigen Sie, daß aus der Bedingung [mm] $\int K(u)\, [/mm] du=1$ folgt, daß [mm] $\int \hat{f}_{h}^{K}(u)\, [/mm] du=1$, wobei [mm] $\hat{f}_{h}^{K}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)$ [/mm] den Kernschätzer bezeichnet.


[mm] \textit{Moin, moin!} [/mm]

Ich habe das wie folgt bewiesen und wüsste gerne, ob das in Ordnung ist.

[mm] \underline{\textbf{Beweis}} [/mm]

[mm] $\int \hat{f}_{h}^{K}(u)\, du=\int\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{u-X_i}{h}\right)\, du=\frac{1}{nh}\int\sum_{i=1}^{n}K(\omega_i)\, h\cdot d\omega_i=\frac{1}{n}\int\left[K(\omega_1)d\omega_1+\hdots+K(\omega_n)d\omega_n\right]$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{n}\left[\underbrace{\underbrace{\int K(\omega_1)d\omega_1}_{=1~\mbox{n.V.}}+\hdots +\underbrace{\int K(\omega_n)d\omega_n}_{=1~\mbox{n.V.}}}_{=n}\right]=\frac{1}{n}\cdot [/mm] n=1$

----
Hierbei habe ich substituiert wie folgt:

[mm] $\omega_i=\frac{u-X_i}{h}$ [/mm]

Dann folgt:

[mm] $\frac{d\omega_i}{du}=\frac{1}{h}\Leftrightarrow h\cdot d\omega_i=du$ [/mm]


[mm] $\Box$ [/mm]



[mm] \textit{Liebe Grüße!} [/mm]
mikexx




        
Bezug
Kernschätzer (KS): Zweifel...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:35 Mo 21.05.2012
Autor: mikexx

Ich zweifle ja daran, ob dies in dem Beweis stimmt:

[mm] $\int\left[K(\omega_1)d\omega_1+\hdots+K(\omega_n)d\omega_n\right]=\int K(\omega_1)d\omega_1+\hdots+\int K(\omega_n)d\omega_n$ [/mm]

Bezug
                
Bezug
Kernschätzer (KS): Integral u. Summe tauschen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 Mo 21.05.2012
Autor: dennis2

hi, mikexx !

offenbar muss man hier eine begründung dafür finden, warum man das integral und die summe vertauschen darf, d.h., wieso

[mm] $\frac{1}{n}\int\sum_{i=1}^{n}K(\omega_i)d\omega_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int K(\omega_i)d\omega_i$ [/mm]

gilt.

(ich weiß es gerade auch spontan nicht.)

ansonsten ist der beweis aber okay, würde ich meinen.



also wenn jemand die begründung liefern kann, wäre das nett, ich kann es gerade nicht


ich denke aber es hat was damit zu tun, dass K eine funktion ist, die neben der in der aufgabe angegebenen eigenschaft [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}K(x)\, [/mm] dx=1$ noch der eigenschaft [mm] $K(x)\geq [/mm] 0$ genügt. mir hängt da irgendwas im hinterkopf, dass man bei nichtnegativen funktionen diese vertauschung vornehmen darf, aber wie gesagt, genau weiß ich es grad nicht und wäre nett, wenn jemand einspringt.


lg dennis

edit: ich meine das stichwort ist hier satz von beppo levi

Bezug
        
Bezug
Kernschätzer (KS): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mo 21.05.2012
Autor: dennis2


>  
> [mm]\underline{\textbf{Beweis}}[/mm]
>  
> [mm]\int \hat{f}_{h}^{K}(u)\, du=\int\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{u-X_i}{h}\right)\, du=\frac{1}{nh}\int\sum_{i=1}^{n}K(\omega_i)\, h\cdot d\omega_i[/mm]

bis hierhin ist es okay (auch die substitution).
dann folgt mit dem satz von beppo levi (bzw. einer anwendung davon), dass du summe und integral vertauschen darfst:

sei [mm] $(f_n)$ [/mm] folge in [mm] $\mathcal{M}^{+}:=\left\{f\colon X\to [0,\infty], f\mbox{ messbar}\right\}$ [/mm] und [mm] $f=\sum_{n\in\mathbb{N}}f_n$. [/mm] Dann gilt: [mm] $\int f\, d\mu=\sum_{n}\int f_n\, d\mu$. [/mm]

die [mm] $K(\omega_i)$ [/mm] bilden eine solche folge
(denn K besitzt die eigenschaften einer gewöhnlichen dichtefunktion)

also kannst du integral und summe miteinander vertauschen und so kommst du dann sauber auf das von dir bereits hingeschriebene ergebnis 1 (jedes der integrale hat n.V. wert 1 und als summe also den wert n).
  


lg dennis

(sollte irgendwo ein fehler sein, was ich nie ausschließen möchte, so korrigiere man mich bitte !)

Bezug
                
Bezug
Kernschätzer (KS): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:26 Mo 21.05.2012
Autor: mikexx

Ist die Funktion K denn messbar?

Oder allgemeiner gefragt: Sind Dichtefunktionen denn messbar?

Bezug
                        
Bezug
Kernschätzer (KS): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Di 22.05.2012
Autor: mikexx

Ich hoffe, die Frage ist nicht zu blöd. :-)

Bezug
                        
Bezug
Kernschätzer (KS): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mi 23.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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