Kern von Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 24.06.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Betrachte die Abbildung f: [mm] \IZ[i] \to \IZ_2, [/mm] x+iy [mm] \mapsto \overline{x^2+y^2}.
[/mm]
Wir wissen, dass der Kern von f ein Hauptideal ist.Berechne einen Erzeuger p von Kern(f). |
Guten Tag,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe eure Hilfe.
Sei z [mm] \in [/mm] Ker(f) mit z = x+iy [mm] \Rightarrow x^2+y^2 [/mm] | 2 d.h es gibt ein k [mm] \in \IZ: x^2+y^2 [/mm] = 2*k.
Zeige : <1+i> = Ker(f)
Offensichtlich gilt f(1+i) = [mm] \overline{2}. [/mm] Also 1+i [mm] \in [/mm] Ker(f). Nun jedes Element in Ker(f) ist ja ein Vielfaches eines Erzeugers. Dann müsste es doch ausreichen, wenn ich zeige das 1+i irreduzibel ist. Oder täusche ich mich da?
Sei 1+i = [mm] z_1 [/mm] * [mm] z_2 \Rightarrow |1+i|^2 [/mm] = [mm] |z_1|^2*|z_2|^2.
[/mm]
Also ist nur 2*1, 1*2, (-1)*(-2), (-2)*(-1) möglich. In jedem Fall muss entweder [mm] z_1 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1 oder [mm] z_2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1 gelten.
Somit ist 1+i irreduzibel.
Schönen Gruß,
Diab91
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Mo 25.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Betrachte die Abbildung f: [mm]\IZ[i] \to \IZ_2,[/mm] x+iy [mm]\mapsto \overline{x^2+y^2}.[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Wir wissen, dass der Kern von f ein Hauptideal ist.Berechne [/i][/mm]
> [mm][i]einen Erzeuger p von Kern(f).[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Guten Tag,[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]ich bräuchte bei dieser Aufgabe eure Hilfe.[/i][/mm]
> [mm][i] Sei z [mm]\in[/mm] Ker(f) mit z = x+iy [mm]\Rightarrow x^2+y^2[/mm] | 2 d.h [/i][/mm]
> [mm][i]es gibt ein k [mm]\in \IZ: x^2+y^2[/mm] = 2*k. [/i][/mm]
> [mm][i][/i][/mm]
> [mm][i]Zeige : <1+i> = Ker(f)[/i][/mm]
> [mm][i] Offensichtlich gilt f(1+i) = [mm]\overline{2}.[/mm] Also 1+i [mm]\in[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]Ker(f). Nun jedes Element in Ker(f) ist ja ein Vielfaches [/i][/mm]
> [mm][i]eines Erzeugers. Dann müsste es doch ausreichen, wenn ich [/i][/mm]
> [mm][i]zeige das 1+i irreduzibel ist. Oder täusche ich mich da?[/i][/mm]
Dann musst du noch zeigen, dass $f$ surjektiv ist, das es also ein $x [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] gibt mit $f(x) = [mm] \overline{1}$. [/mm] (Andernfalls waer der Kern gleich ganz [mm] $\IZ[i]$.) [/mm] Aber ja, davon abgesehen reicht es aus.
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Sei 1+i = [mm]z_1[/mm] * [mm]z_2 \Rightarrow |1+i|^2[/mm] = [mm]|z_1|^2*|z_2|^2.[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] Also ist nur 2*1, 1*2, (-1)*(-2), (-2)*(-1) möglich. In [/i][/mm]
> [mm][i]jedem Fall muss entweder [mm]z_1[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1 oder [mm]z_2[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1 [/i][/mm]
> [mm][i]gelten.[/i][/mm]
> [mm][i] Somit ist 1+i irreduzibel.[/i][/mm]
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mo 25.06.2012 | | Autor: | diab91 |
Hi Felix,
die Surjektivität habe ich bereits gezeigt. Vielen Dank für deine Hilfe.
Schönen Gruß,
Diab91
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