Kern von A < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist die Matrix A= [mm] \pmat{ 2 & -6 & 14 & 2 \\ 2 & -7 & 11 & 3 \\ 1 & -2 & 8 & 1 \\ 1 & -2 & 12 & 0 } [/mm] Berechne den Kern. |
So....Ich habe diese Matrix auf Zeilenstufenform gebracht, dabei habe ich erkannt , dass die Vektoren linear unabhängig voneinander sind, jetzt weiß ich nicht, wie ich den Kern berechnen soll... oder geht das auch anders? Brauche dringend Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Poste doch mal bitte die Matrix in Stufenform.
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| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 2 & -6 & 14 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -11 } [/mm] Jetzt den Kern berechnen |
So, das müsste sie sein, hoffe es ist richtig. Jetzt weiß ich nicht, wie ich den Kern rausbekomme. Ich weiß, dass wir Vektoren suchen, die auf 0 abgebildet werden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Fr 30.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
den Kern(A) berechnest du, indem du Ax=0 berechnest.
heißt: [mm] \pmat{ 2 & -6 & 14 & 2 \\ 2 & -7 & 11 & 3 \\ 1 & -2 & 8 & 1 \\ 1 & -2 & 12 & 0 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}}=0
[/mm]
MfG
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Hi! das weiß ich. Da komme ich aber nicht weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Fr 30.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
wenn
[mm] \pmat{ 2 & -6 & 14 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -11 }
[/mm]
stimmt.
folgt aus Ax=0
[mm] 2x_{1}-6_{2}+14_{3}+2_{4}=0
[/mm]
[mm] -1x_{2}-3x_{3}+1x_{4}=0
[/mm]
[mm] 1x_{3}+2x_{4}=0
[/mm]
[mm] -11x_{4}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{4}=0 \Rightarrow x_{3}=0 \Rightarrow x_{2}=0 \Rightarrow x_{1}=0
[/mm]
MfG
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Ja, habe ich auch raus, aber mein kern ist ja dann nicht (0,0,0,0) ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Jorgi |
Falls die Zeilenstufenform korrekt ausgerechnet wurde, folgt aus dem Ergebnis, dass der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.
ist doch schön :)
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Joar, da haste recht... Dann folgt ja quasi daraus, dass bei Nichtwegfallen einer Zeile der Kern immer aus dem Nullvektor besteht(?) und dass erst bei Wegfallen einer Nullzeile der Kern aus einem Vektor besteht usw..???
Noch eine Frage: Wie berechne ich den Kern, wenn mehr als eine Zeile wegfällt und ich die Vektoren in Abhängigkeit voneinander darstellen muss?
--> Ich schreibe morgen Klausur, bin ganz aufgeregt, seit 4 Wochen am Lernen und habe das Gefühl, alles vergessen zu haben...
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Hallo Monsterzicke,
der Rang der Matrix A (also die Nicht-Nullzeilen in ZSF) geben die Dimension des Bildes der zu A gehörigen linearen Abbildung [mm] \phi [/mm] : [mm] V\rightarrow [/mm] W (hier: [mm] V=W=\IR^4) [/mm] an.
Mit dem Kern/Bild-Satz gilt: [mm] dim(V)=dim(Kern(\phi))+dim(Bild(\phi))
[/mm]
Also kannst du an der Matrix - wenn du sie in ZSF gebracht hast - sehen, welche Dimension jeweils Kern und Bild haben.
Wenn V und W also dieselbe Dimension n haben (wie hier dim=4) und die Matrix den vollen Rang (also hier 4) hat, so folgt mit dem Satz:
[mm] dim(V)=dim(Kern(\phi))+dim(Bild(\phi))
[/mm]
[mm] \gdw n=dim(Kern(\phi))+n \Rightarrow dim(Kern(\phi))=0 \Rightarrow Kern(\phi))=\vec{0}
[/mm]
Aber denke daran: Im Allgemeinen haben V und W nicht dieselbe Dimension!
Gruß
schachuzipus
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ok, verstehe ich. aber wie kreige ich dann raus, was der kern ist, wenn ich bereits weiß, dass er aus 2 vektoren besteht?
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Hi nochmal,
also du musst ja wie schon erwähnt, die Gleichung [mm] A\cdot{}\vec{x}=\vec{0} [/mm] lösen.
Dazu kannst du deine in ZSF gebrachte Matrix benutzen, setze jede der Zeilen = 0 und löse nach den Variablen auf.(siehe im post von barsch)
Hat der Kern zB die Dimension 2, so wirst du für Vektoren aus dem Kern eine Lösung in der Art erhalten:
[mm] \vec{x}\in Kern(\phi))\gdw \vec{x}=t\cdot{}\vec{a}+s\cdot{}\vec{b} [/mm] mit t,s [mm] \in\IR
[/mm]
Am besten, du rechnest mal ein Bsp, wo die VRe verschiedene Dimensionen haben.
Wenn du das ein paar Male gerechnet hast, wird das klar, rein theoretisch ist das etwas unanschaulich
Gruß
schachuzipus
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