Kern und Image einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Lieben!
Kann mir njemand bitte (am besten mit Bsp) erklären, wie man eine Basis des Kerns und des Bildes von einer nicht quadratischen Matrix bestimmt?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Di 30.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
ich versuche mal den kern zu erklären
du bringst die matrix auf strickte zeilen-stuffen-form
das sieht dann z.b. so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
und "denkst" dir eine nullzeille
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
da hast du nun den 1. und den 3. einheitsvektor.
dann ist der kern [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
also der fehlenden einheitsvektor, mit den negierten einträge der entsprechenden zeile
denn [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * {-2 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 0} = 0
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Hallo,
ich nehme thoma2s Matrix und zeige Dir, wie ich es mache, nachdem sie auf Zeilenstufenform gebracht ist:
Aus
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
lese ich ab
z=0 und x+2y=0.
Ich kann y frei wählen,
y=t, t [mm] \in \IR,
[/mm]
dann ist x=-2y=-2t.
Somit haben die Elemente des Kerns die Gestalt [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{-2t \\ t \\ 0}=t\vektor{-2 \\ 1 \\ 0},
[/mm]
und es ist [mm] KernA=<\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}>.
[/mm]
Das Bild kann man direkt aus der Matrix ablesen, es wird von den Spalten erzeugt, also [mm] BildA=<\vektor{1 \\ 0}, \vektor{2 \\0},\vektor{0 \\ 1}>.
[/mm]
Ist eine Basis des Bildes gefordert, muß man aus dem Erzeugendensystem die linear abhängigen Vektoren entfernen:
[mm] 1.Basisvektor:\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Prüfen, ob [mm] \vektor{2 \\0} [/mm] von diesem abhängig ist. Ja, er ist. Er kommt nicht in die Basis.
Ist [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] abhängig von [mm] \vektor{1 \\ 0}? [/mm] Nein. Also kommt er mit in die Basis.
So kann man bei größeren Erzeugendensystemen nach und nach ein unabhängiges herausfiltern.
Wenn man z.B. schon 3 lin. unabhängige Vektoren in der zu bildenden Basis hat, muß man beim 4. prüfen, ob er von den dreien abhängig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Di 08.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Könnte bitte Jemand einen Blich über meine Aufgabe werfen ob mein Weg so richtig ist?
Ich möchte Kern & Image bestimmen
Ausgangsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 5 & 7 }
[/mm]
Nach Zeilenstufenform: (das Stimmt, habe ich schon kontrolliert)
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
daraus folgt:
z=t
y=-2t
x=t
daraus folgt
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{t \\ -2t \\ t} [/mm] = t [mm] \* \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Kern = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Bild = [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}>
[/mm]
Danke im vorraus
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Hi,
> Könnte bitte Jemand einen Blich über meine Aufgabe werfen
> ob mein Weg so richtig ist?
>
> Ich möchte Kern & Image bestimmen
>
> Ausgangsmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 5 & 7 }[/mm]
>
> Nach Zeilenstufenform: (das Stimmt, habe ich schon
> kontrolliert)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Da bin ich anderer Meinung.
Der erste Zeilenvektor (1,1,1) der Ausgangsmatrix ist linear unabhängig von (1,1,-1) und (0,1,2). Da muss wohl schon irgendwas bei der Berechnung deiner ZSF schiefgelaufen sein.
>
> daraus folgt:
>
> z=t
> y=-2t
> x=t
>
> daraus folgt
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{t \\ -2t \\ t}[/mm] = t [mm]\* \vektor{1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> Kern = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> Bild = [mm]<\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}>[/mm]
Das kann keine Basis sein: Es unterscheiden sich immer nur die ersten beiden Komponenten dieser Vektoren, weswegen die Dimension des Raumes, der durch diese Vektoren aufgespannt wird [mm] \leq [/mm] 2 ist
>
> Danke im vorraus
>
Kamaleonti
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> Könnte bitte Jemand einen Blich über meine Aufgabe werfen
> ob mein Weg so richtig ist?
>
> Ich möchte Kern & Image bestimmen
>
> Ausgangsmatrix:
>
>A:= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
4 & 3 & 2 \\
3 & 5 & 7 }[/mm]
>
> Nach Zeilenstufenform: (das Stimmt, habe ich schon
> kontrolliert)
>
> [mm]\pmat{\green{ 1 }& 1 & \red{+}1 \\
0 &\green{ 1 }& 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
mit dem [mm] \red{+} [/mm] stimmt sie. Das war bloß ein Tippfehler.
>
> daraus folgt:
>
> z=t
> y=-2t
> x=t
Ja.
>
> daraus folgt
>
> [mm]\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] = [mm]\vektor{t \\
-2t \\
t}[/mm] = t [mm]\* \vektor{1 \\
-2 \\
1}[/mm]
Richtig.
>
> Kern = [mm]\vektor{1 \\
-2 \\
1}[/mm]
Das ist nicht der Kern, sondern eine Basis des Kerns.
Der Kern ist die lineare Hülle/der Span davon, also
[mm] KernA=<$\vektor{1 \\ -2 \\ 1}$>
[/mm]
Zum Ablesen des Bildes:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (grün) stehen in der 1. und 2. Spalte.
Also bilden die 1. und 2. Spalte von A (!!!) eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das ist das Ergebnis, aber wenn ich die ZSF weiter rechne muss ich doch noch die 2te Zeile von der 1sten abziehen dadurch erscheint dann mein Fehler.
Wie mache ich es denn nun richtig, ich kann doch nicht einfach aufhören den Gauß zu rechnen = ich bin verwirrt.
Der Kern ist eine Menge von Vektoren daher soll ich schreiben:
Ker f= { [mm] \vektor{t \\ -2 \\ t} [/mm] , t [mm] \in \IR [/mm] }
beim image habe ich gerechnet
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 5 & 7 } \* \vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 4 & -6 & 2 \\ 3 & 10 & 7 }
[/mm]
Zum schluß soll ich das Urbild [mm] f^{-1} [/mm] berechnen mit (1,1,3,5) ist mein Lösungsansatz dann:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 & 5 } [/mm] und dann Gauß x1, x2, x3, x4 ausrechnen?
Danke für die Hilfe
und herzliche Grüße
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Hallo Halvalon,
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das ist das Ergebnis, aber wenn ich die ZSF weiter rechne
> muss ich doch noch die 2te Zeile von der 1sten abziehen
> dadurch erscheint dann mein Fehler.
> Wie mache ich es denn nun richtig, ich kann doch nicht
> einfach aufhören den Gauß zu rechnen = ich bin verwirrt.
>
> Der Kern ist eine Menge von Vektoren daher soll ich
> schreiben:
> Ker f= { [mm]\vektor{t \\ -2 \\ t}[/mm] , t [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
Hier hat sich ein kleiner Schreibfehler eingeschlichen:
Ker f= { [mm]\vektor{t \\ -2\blue{t} \\ t}[/mm] , t [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> beim image habe ich gerechnet
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 5 & 7 } \* \vektor{1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 4 & -6 & 2 \\ 3 & 10 & 7 }[/mm]
Rechts muss der Nullvektor stehen.
>
> Zum schluß soll ich das Urbild [mm]f^{-1}[/mm] berechnen mit
> (1,1,3,5) ist mein Lösungsansatz dann:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 & 5 }[/mm]
> und dann Gauß x1, x2, x3, x4 ausrechnen?
Ja
>
> Danke für die Hilfe
> und herzliche Grüße
Gruss
MathePower
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