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Kern und Im bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Mi 01.02.2012
Autor: durden88

Aufgabe
Gegeben ist [mm] \lambda(\vec{x})=(-x_1+2x_2,4x_2-x_3,2x_1-2x_2+5x_3). [/mm] Bestimme den [mm] Ker(\lambda) [/mm] sowie [mm] Im(\lambda). [/mm]

Guten Tag,

ich bin wie folgt vorgegangen:

[mm] \vmat{ -1 & 2&0 \\ 0 & 4&-1\\2&-1&5 }=0 [/mm]

Dann 5*II+III:

[mm] \vmat{ -1 & 2&0 \\ 0 & 4&-1\\2&19&0 }=0 [/mm]

Dann 2*I+III:

[mm] \vmat{ -1 & 2&0 \\ 0 & 4&-1\\0&23&0}=0 [/mm]

Daraus folgt ja, dass [mm] x_2=0 [/mm] ist. Daraus, dass auch [mm] x_3=0 [/mm] ist und wiederrum, dass [mm] x_1=0 [/mm] ist, richtig?

Dann wäre der [mm] Ker(\lambda)=1, [/mm] also ein Nullvektor aus [mm] \IR^3? [/mm]
Für [mm] Im(\lambda) [/mm] würde sich dann 2 ergeben?

Was ist denn, wenn auch noch nach dem Bild gefragt ist?

dANKE!!

        
Bezug
Kern und Im bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Mi 01.02.2012
Autor: Schadowmaster

moin durden,

In der dritten Zeile, zweite Spalte muss eine -2 statt einer -1 stehen.
Ändert aber nichts am Ergebnis, dass alle [mm] $x_i$ [/mm] gleich 0 sein müssen.
Nun frage ich mich aber, was du mit [mm] $Ker(\lambda) [/mm] = 1$ und [mm] $Im(\lambda)=2$ [/mm] meinst.
Sowohl der Kern als auch das Bild einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen (und darum handelt es sich bei [mm] $\lambda$) [/mm] sind wieder Vektorräume, also haben Zahlen da kaum etwas bis garnichts verloren.

Guck also nochmal genau nach, wie $Ker$ und $Im$ bei dir definiert wurden oder was genau du haben möchtest.
Meintest du vielleicht die Dimension des Kerns und des Bildes?

lg

Schadow

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