Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Kern und Bild für die lineare Abbildung:
[mm] $f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3})=\vektor{x_1+x_2 \\ x_1+x_3 \\ x_2-x_3} [/mm] |
zum Ker(f):
[mm] $0=x_1+x_2 \rightarrow x_1=-x_2$
[/mm]
[mm] $0=x_1+x_3 \rightarrow x_3=-x_1$
[/mm]
[mm] $0=x_2-x_3 \rightarrow x_2=x_3$
[/mm]
Also ist der [mm] Ker(f)=\vektor{-x_2 \\ x_3 \\ -x_1}?
[/mm]
Wie mache ich das mit dem Im(f) das verstehe ich nicht wirklich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Beim Kern musst du nochmal etwas tun. Die Lösung des Gleichungssystems stimmt nicht! Du hast also
[mm] x_1+x_2=0
[/mm]
[mm] x_1+x_3=0
[/mm]
[mm] x_2-x_3=0
[/mm]
Löse das ganze mal in Ruhe z.B. mit Gauß auf. Rauskommen sollte ein eindimensionaler Unterraum, also etwas der Form [mm] $\text{ker}(f)=\IR*v$ [/mm] für irgendeinen Vektor [mm] $v\in \IR^3$ [/mm] (zum Vergleich: [mm] v=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}).
[/mm]
Randnotiz:
Hattet ihr die Dimensionsformel schon? Also [mm] $\text{dim}(V)=\text{dim}(\text{ker}(f))+\text{dim}(\text{im}(f))$? [/mm] Dann hast du hier also [mm] $\text{dim}(V)=3$ [/mm] und [mm] $\text{dim}(\text{ker}(f))=1$, [/mm] also kannst du [mm] $\text{dim}(\text{im}(f))=2$ [/mm] erwarten, d.h. [mm] $\text{im}(f)=\IR*v+\IR*w$ [/mm] für gewisse Vektoren $v,w$. Damit weißt du schon mal in etwa, die das Bild am Ende aussehen muss.
Um v und w zu bestimmen mache folgendes: Schreibe $f$ mal in der Form
[mm] $f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3})=x_1*v+x_2*w+x_3*u$, [/mm] $v,w,u$ Vektoren. Das sieht schon fast wie die gewünschte Form aus, nur dass noch ein Summand zu viel da ist. Einen Vektor brauchst du aber nicht, weil du ihn schon aus den beiden anderen Vektoren darstellen kannst. Schau mal, welcher entbehrlich ist. Diesen kannst du streichen und der Rest ist dein Bild.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ich habe das jetzt versucht mit Gauß zu lösen allerdings schaffe ich es nicht die übliche Form zu bekommen. Die einzelnen Zeilen heben sich immer wieder auf. Und nun?
[mm] $\vmat{ x_1 & 0 & x_3 &0 \\ x_1 & x_2 & 0 & 0 \\ 0 & x_2 & -x_3 & 0 }$
[/mm]
also wäre $Ker(f)= R [mm] \cdot \vektor{-v \\ v \\ v}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Dass sich Zeilen aufheben ist richtig. Das heißt nur, dass die Lösung nicht eindeutig ist, sondern dass es hier sogar unendlich viele Lösungen gibt. Schreibe die Matrix aber mal mit den einsen.
Dan liefert dir umformen:
$ [mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 &0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 } \rightarrow [/mm] $ [mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 } \rightarrow [/mm] $ [mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Das entspricht also die Gleichungen
[mm] x_1+x_3=0
[/mm]
[mm] x_2-x_3=0
[/mm]
Das sind eine Variable mehr als Gleichungen. Setze also z.B. [mm] x_3=t. [/mm] Dann folgt [mm] x_2=t [/mm] und [mm] x_1=-t.
[/mm]
Damit ist die Lösung dieses Gleichungssystems [mm] \vektor{-t\\t\\t} [/mm] für alle [mm] $t\in \IR$ [/mm] wie du auch schon richtig gesehen hast. Also ist der Kern [mm] $=\{\vektor{-t\\t\\t}|t\in \IR\}=\IR\vektor{-1\\1\\1}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ok dankeschön :)
zum im(f):
entweder [mm] $x_2$ [/mm] oder [mm] $x_3$ [/mm] sind entbehrlich. Kann man sich ja aussuchen oder?
Also wäre
[mm] $f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3})=x_1 \cdot [/mm] u + [mm] (x_2+x_3) \cdot [/mm] v$ oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Nein, also weglassen kannst du nur einen der Vektoren v, w oder u.
Du kannst f schreiben als [mm] f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})=x_1*\vektor{1\\1\\0}+x_2*\vektor{1\\0\\1}+x_3*\vektor{0\\1\\-1}. [/mm] Bis hierhin ist erstmal nicht passiert, außer dass du f anders aufgeschrieben hast. Nun gibt es einen Vektor, den man schon mit Hilfe der anderen 2 Vektoren darstellen kann. Das heißt, dass dieser nichts zu dem Bild beiträgt, man also gut ohne ihn leben kann. Diesen kannst du dann einfach weglassen ohne das Bild zu verändern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ok das wäre der letzte Vektor zu [mm] $x_3$ [/mm] also [mm] $\vektor{0\\1\\-1}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau, man kann z.B. den 3. weglassen. Oder auch den 2. oder 1. Ist egal, aber Fakt ist, dass einer weg kann. Nehmen wir mal den 3.
Das heißt, dass man das Bild von f schon mit den beiden Vektoren [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] hinbekommen kann. Also gilt [mm] $\text{im}(f)=\IR\vektor{1\\1\\0}+\IR\vektor{1\\0\\1}=\text{span}(\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\0\\1})=<\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\0\\1}>$ [/mm] oder wie auch immer ihr das schreibt. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
achso so " einfach" geht das also :) Dankeschön
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