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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Kern einer Matrix
Kern einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kern einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mo 23.07.2012
Autor: Bodo0686

Aufgabe
Bestimmen Sie [mm] ker(L-k_1 [/mm] * I),


Hallo könnt ihr mir helfen?

[mm] L=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \cdot \pmat{ -2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1 } [/mm]
[mm] k_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} [/mm]
I= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]

ker [mm] (\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 }) [/mm]

jetzt hänge ich fest!

Grüße

        
Bezug
Kern einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Mo 23.07.2012
Autor: fred97


> Bestimmen Sie [mm]ker(L-k_1[/mm] * I),
>  
> Hallo könnt ihr mir helfen?
>  
> [mm]L=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \cdot \pmat{ -2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> [mm]k_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}[/mm]
>  I= [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> ker [mm](\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 })[/mm]
>  
> jetzt hänge ich fest!

Der gesuchte Kern besteht aus allen [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] mit:

        [mm] (-2v^2-2)x-2y=0 [/mm]  (*)

(*) gilt genau dann, wenn [mm] y=(v^2+1)x. [/mm]

Edit: es lautet natürlich [mm] y=-(v^2+1)x [/mm]

FRED

>
> Grüße


Bezug
                
Bezug
Kern einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Mo 23.07.2012
Autor: Bodo0686

Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den Kern bestimmen wollen:

[mm] \pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 } [/mm]

müsste ich dann [mm] (-2y^2-2)x [/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?

++++
zur vorigen Aufgabe:

Ich müsste nachher auf [mm] X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1} [/mm] kommen. Aber es ist mir nicht ersichtlich wie ich hierauf komme...

Bezug
                        
Bezug
Kern einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Mo 23.07.2012
Autor: fred97


> Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den
> Kern bestimmen wollen:
>  
> [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm]
>
> müsste ich dann [mm](-2y^2-2)x[/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?


nein , dann mußt Du lösen:

[mm](-2y^2-2)x[/mm] - 2y = 0

2x=0

Dieses LGS hat aber nur eine Lösung: (0,0)

>  
> ++++
>  zur vorigen Aufgabe:
>  
> Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.

Wieso ?

FRED

> Aber es ist mir nicht ersichtlich wie ich hierauf komme...


Bezug
                                
Bezug
Kern einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Mo 23.07.2012
Autor: Bodo0686


> > Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den
> > Kern bestimmen wollen:
>  >  
> > [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm]
> >
> > müsste ich dann [mm](-2y^2-2)x[/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?
>  
>
> nein , dann mußt Du lösen:
>  
> [mm](-2y^2-2)x[/mm] - 2y = 0
>
> 2x=0
>  
> Dieses LGS hat aber nur eine Lösung: (0,0)
>  >  
> > ++++
>  >  zur vorigen Aufgabe:
>  >  
> > Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.
>
> Wieso ?

das steht so bei mir in den Lösungen. Ich habe dort stehen:

[mm] ker(L-k_1 \cdot [/mm] I)=ker [mm] \pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] <\pmat{ -1 \\ v^2+1}> \Rightarrow X_1=\pmat{ -1 \\ v^2+1} [/mm]

Bezug
                                        
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Kern einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Mo 23.07.2012
Autor: fred97


> > > Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den
> > > Kern bestimmen wollen:
>  >  >  
> > > [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm]
> > >
> > > müsste ich dann [mm](-2y^2-2)x[/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?
>  >  
> >
> > nein , dann mußt Du lösen:
>  >  
> > [mm](-2y^2-2)x[/mm] - 2y = 0
> >
> > 2x=0
>  >  
> > Dieses LGS hat aber nur eine Lösung: (0,0)
>  >  >  
> > > ++++
>  >  >  zur vorigen Aufgabe:
>  >  >  
> > > Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.
> >
> > Wieso ?
>  
> das steht so bei mir in den Lösungen. Ich habe dort
> stehen:
>  
> [mm]ker(L-k_1 \cdot[/mm] I)=ker [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 }[/mm] =
> [mm]<\pmat{ -1 \\ v^2+1}> \Rightarrow X_1=\pmat{ -1 \\ v^2+1}[/mm]  


Ja, das stimmt . Ich hatte mich oben verschrieben. Richtig lautet es

                          [mm] y=-(v^2+1)x [/mm]

Siehst Du es jetzt ?

FRED

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Kern einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Mo 23.07.2012
Autor: Bodo0686


> > > > Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den
> > > > Kern bestimmen wollen:
>  >  >  >  
> > > > [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm]
> > > >
> > > > müsste ich dann [mm](-2y^2-2)x[/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?
>  >  >  
> > >
> > > nein , dann mußt Du lösen:
>  >  >  
> > > [mm](-2y^2-2)x[/mm] - 2y = 0
> > >
> > > 2x=0
>  >  >  
> > > Dieses LGS hat aber nur eine Lösung: (0,0)
>  >  >  >  
> > > > ++++
>  >  >  >  zur vorigen Aufgabe:
>  >  >  >  
> > > > Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.
> > >
> > > Wieso ?
>  >  
> > das steht so bei mir in den Lösungen. Ich habe dort
> > stehen:
>  >  
> > [mm]ker(L-k_1 \cdot[/mm] I)=ker [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 }[/mm] =
> > [mm]<\pmat{ -1 \\ v^2+1}> \Rightarrow X_1=\pmat{ -1 \\ v^2+1}[/mm]  
>
>
> Ja, das stimmt . Ich hatte mich oben verschrieben. Richtig
> lautet es
>  
> [mm]y=-(v^2+1)x[/mm]
>  
> Siehst Du es jetzt ?
>  
> FRED

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, müsste ich für x (-1) einsetzen um auf [mm] y=v^2+1 [/mm]  zu kommen. [mm] \Rightarrow \pmat{ -1 \\ v^2+1 } [/mm] zu kommen. Wäre es denn auch richtig, wenn ich [mm] \pmat{1\\-(v^2+1)} [/mm] hätte?

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Kern einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Mo 23.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Bodo,


> > > > > Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.

> > Ja, das stimmt . Ich hatte mich oben verschrieben. Richtig
> > lautet es
>  >  
> > [mm]y=-(v^2+1)x[/mm]
>  >  

>
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, müsste ich
> für x (-1) einsetzen um auf [mm]y=v^2+1[/mm]  zu kommen.
> [mm]\Rightarrow \pmat{ -1 \\ v^2+1 }[/mm] zu kommen.

Ja!

> Wäre es denn
> auch richtig, wenn ich [mm]\pmat{1\\ -(v^2+1)}[/mm] hätte?

Ja, jeder Vektor (aßer dem Nullvektor) [mm]\vektor{t\\ -(v^2+1)t}[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm] tut es als Basisvektor des Kernes.

Auch zB. für [mm]t=\pi[/mm] dann [mm]\vektor{\pi\\ -(v^2+1)\pi}[/mm] ...

Gruß

schachuzipus


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Kern einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Mo 23.07.2012
Autor: Bodo0686

ok! Super, das dürfte ich jetzt verstanden haben.

Wenn ich nun von L die Eigenwerte ausrechnen möchte, dann muss ich doch [mm] (-2v^2-1-\lambda)(1-\lambda) [/mm] rechnen, oder? Ausmultipliziert ergäbe das dann, [mm] -2v^2+2v^2\lambda [/mm] - 1 + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] = [mm] -2v^2+2v^2\lambda-1 [/mm] + [mm] \lambda^2. [/mm] Wie würde das jetzt weiter gehen?

Wenn ich ja eine Diagonalmatrix habe [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] dann sind ja gerade 1,1 meine Eigenwerte, durch einfaches ablesen... wie ist es aber, wenn ich eine Matrix habe wo außerhalb der Diagonalen keine Nullen sind?


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Kern einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Mo 23.07.2012
Autor: fred97


> ok! Super, das dürfte ich jetzt verstanden haben.
>  
> Wenn ich nun von L die Eigenwerte ausrechnen möchte, dann
> muss ich doch [mm](-2v^2-1-\lambda)(1-\lambda)[/mm] rechnen, oder?


Du mußt die  [mm] \lambda [/mm] bestimmen, für die  

              (*) [mm](-2v^2-1-\lambda)(1-\lambda)=0[/mm]

gilt.


> Ausmultipliziert

Das würde ich nicht tun ! Aus (*) folgt doch sofort

                   [mm] \lambda=1 [/mm] oder [mm] \lambda =-2v^2-1. [/mm]




>  ergäbe das dann, [mm]-2v^2+2v^2\lambda[/mm] - 1 +
> [mm]\lambda[/mm] - [mm]\lambda[/mm] + [mm]\lambda^2[/mm] = [mm]-2v^2+2v^2\lambda-1[/mm] +
> [mm]\lambda^2.[/mm] Wie würde das jetzt weiter gehen?
>  
> Wenn ich ja eine Diagonalmatrix habe [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] dann
> sind ja gerade 1,1 meine Eigenwerte, durch einfaches
> ablesen...

Ja



> wie ist es aber, wenn ich eine Matrix habe wo
> außerhalb der Diagonalen keine Nullen sind?

Ist A eine quadratische Matrix, so sind die Eigenwerte von A gerade die Nullstellen des char. Polynoms [mm] p(\lambda)=det(A-\lambda [/mm] I)

(I= Einheitsmatrix)

FRED

>  


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Kern einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Mo 23.07.2012
Autor: Bodo0686

Ok!

Nochmal zum Rang!

Angenommen ich hätte ein [mm] k_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}. [/mm]
Dann [mm] ker(L-K_2 [/mm] I)= [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{-2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1}+\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm]

jetzt den Nenner mit [mm] (1+2v^2) [/mm] erweitern.

Nun:  [mm] ker(L-K_2 [/mm] I)= [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{-2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1}+\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{1+2v^2 & 0 \\ 0 & 1+2v^2} [/mm]

= ker [mm] \pmat{0 & -2 \\ 0 & 2+2v^2} [/mm]

Also muss ich doch lösen:

[mm] 0\cdot [/mm] x - 2y = 0 und
[mm] 0\cdot [/mm] x - [mm] (2+2v^2)y [/mm]

stimmt das bis hierhin?

Dann müsste ja eigentlich [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] herauskommen. In der Lösung steht jedoch [mm] \vektor{1 \\ 0}? [/mm]

Bezug
                                                                                        
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Kern einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Mo 23.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ok!
>  
> Nochmal zum Rang!
>  
> Angenommen ich hätte ein
> [mm]k_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}.[/mm]
>  Dann [mm]ker(L-K_2[/mm] I)=
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{-2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1}+\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
>
> jetzt den Nenner mit [mm](1+2v^2)[/mm] erweitern.
>  
> Nun:  [mm]ker(L-K_2[/mm] I)=
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{-2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1}+\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{1+2v^2 & 0 \\ 0 & 1+2v^2}[/mm]
>
> = ker [mm]\pmat{0 & -2 \\ 0 & 2+2v^2}[/mm]  [ok]
>
> Also muss ich doch lösen:
>
> [mm]0\cdot[/mm] x - 2y = 0 und
>  [mm]0\cdot[/mm] x - [mm](2+2v^2)y[/mm]
>
> stimmt das bis hierhin?

Ja!

>  
> Dann müsste ja eigentlich [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] herauskommen.

Warum? Da steht doch [mm]0\cdot{}x[/mm] in den Gleichungen, welchen Wert [mm]x[/mm] also hat, spielt für die "Gesamtlösung" keine Rolle.

Jedes [mm]x=t[/mm] mit einem [mm]t\in\IR[/mm] tut es als Lösung, diejenigen mit [mm]x\neq 0[/mm] kommen als Eigenvektoren infrage, in der Musterlösung wurde der Einfachheit halber [mm]t=1[/mm] genommen ...

> In der Lösung steht jedoch [mm]\vektor{1 \\ 0}?[/mm]  

Allg.: Lösung sind die Vektoren [mm]\vektor{t\\ 0}[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm].
Da Eigenvektoren per definitionem [mm]\neq[/mm] dem Nullvektor sind, nimm dir irgendein [mm]t\neq 0[/mm] her ...

Gruß

schachuzipus


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Kern einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:19 Di 24.07.2012
Autor: Bodo0686

Super!

Ich habe aber zur Vorsicht nochmal eine Aufgabe gerechnet:

[mm] L=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm]

Eigenwerte: [mm] (2v^2+1-\lambda)(-1-\lambda) [/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}} [/mm]
[mm] \Rightarrow: \lambda_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} [/mm]

[mm] Ker(L-\lambda_1 \cdot [/mm] I): [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] - [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] - [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1+2v^2 & 0 \\ 0 & 1+2v^2 } [/mm]
= ker  [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -2+2v^2 } [/mm]

jetzt: 0x + y = 0 und 0x + (-2+2v)y =0 [mm] \Rightarrow \vektor{1 \\ 0} [/mm]

und für [mm] \lambda_2: [/mm]

[mm] Ker(L-\lambda_2 \cdot [/mm] I): [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] - [mm] \frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } =\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] + [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] =   [mm] \pmat{ 2+2v^2 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]

jetzt: [mm] (2+2v^2)x [/mm] + y = 0 [mm] \gdw (2+2v^2)x [/mm] = - y [mm] \Rightarrow \pmat{-1 \\ 2+2v^2} [/mm]

Bitte um kurze Rückmeldung, ob das so in Ordnung ist! Danke und Grüße

Bezug
                                                                                                        
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Kern einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Di 24.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Super!
>  
> Ich habe aber zur Vorsicht nochmal eine Aufgabe gerechnet:
>  
> [mm]L=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
>  
> Eigenwerte: [mm](2v^2+1-\lambda)(-1-\lambda)[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \lambda_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow: \lambda_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}[/mm]
>  
> [mm]Ker(L-\lambda_1 \cdot[/mm] I):
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]  - [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] =



> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]  - [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1+2v^2 & 0 \\ 0 & 1+2v^2 }[/mm]
>  
> = ker  [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -2+2v^2 }[/mm]
>  
> jetzt: 0x + y = 0 und 0x + (-2+2v)y =0 [mm]\Rightarrow \vektor{1 \\ 0}[/mm]

Aus einem Gleichungssystem folgt ein Vektor? Schlecht aufgeschrieben, aber richtig gemeint!


Also [mm]\operatorname{Kern}(L-\lambda_1\cdot{}I)=\left\langle\vektor{1\\ 0}\right\rangle[/mm]

>  
> und für [mm]\lambda_2:[/mm]
>  
> [mm]Ker(L-\lambda_2 \cdot[/mm] I):
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]  - [mm]\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } =\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm] + [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] =   [mm]\pmat{ 2+2v^2 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
> jetzt: [mm](2+2v^2)x[/mm] + y = 0 [mm]\gdw (2+2v^2)x[/mm] = - y [mm]\Rightarrow \pmat{-1 \\ 2+2v^2}[/mm] [ok]

Siehe Bem. zur Schreibweise oben.

Gerechnet hast du alles richtig!

>  
> Bitte um kurze Rückmeldung, ob das so in Ordnung ist!
> Danke und Grüße

Gruß

schachuzipus


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