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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Kern/Bild von Polynomen
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Kern/Bild von Polynomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Fr 06.01.2006
Autor: muhkuh

Aufgabe
Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad höchstens drei.
[mm] G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2} [/mm]

Hallo, ich schreibe morgen eine Klausur über lin. Abbildungen.
ich hoffe ihr könnt mir bei nem kleinen helfen.
ich weiß wie man den Kern/das Bild von Matrizen berechnet.
aber wie macht man das wenn anstatt von ner darstellenden Matrix Polynome gegeben sind? wie z.b. in der aufgabe oben.
(ich will jetzt aber keine Lsg. zu der Aufgabe, sondern nur den Ansatz um daran zu kommen)
DANKE!

(die frage habe ich in keinem anderen Forum gepostet)

        
Bezug
Kern/Bild von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Fr 06.01.2006
Autor: felixf


> Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad
> höchstens drei.
>  [mm]G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2}[/mm]
>  Hallo, ich schreibe morgen eine Klausur über lin.
> Abbildungen.
>  ich hoffe ihr könnt mir bei nem kleinen helfen.
>  ich weiß wie man den Kern/das Bild von Matrizen
> berechnet.
>  aber wie macht man das wenn anstatt von ner darstellenden
> Matrix Polynome gegeben sind? wie z.b. in der aufgabe
> oben.
>  (ich will jetzt aber keine Lsg. zu der Aufgabe, sondern
> nur den Ansatz um daran zu kommen)

Nun, du weisst inwiefern die Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 3$ einen Vektorraum bilden? Es sind alle Linearkombinationen [mm] $\lambda_3 x^3 [/mm] + [mm] \lambda_2 x^2 [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] x + [mm] \lambda_0$ [/mm] mit [mm] $\lambda_0, \dots, \lambda_3 \in \IR$: [/mm] Also ist der Raum (bezeichnen wir ihn mal mit [mm] $P_3$) [/mm] isomorph zu [mm] $\IR^3$. [/mm]

Wenn du nun eine lineare Abbildung $f : [mm] P_3 \to P_3$ [/mm] hast, kannst du sie auf den 'Basisvektoren' (dies sind $1$, $x$, [mm] $x^2$, $x^3$, [/mm] welche den Koeffizientenvektoren [mm] $(\lambda_0, \dots, \lambda_4) [/mm] = (1, 0, 0, 0)$, $(0, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 1, 0)$, $(0, 0, 0, 1)$ entsprechen!) auswerten und wieder mit Hilfe der Basisvektoren darstellen (was genau das gleiche ist wie den Koeffizientenvektor hinzuschreiben). Und dadurch kannst du das ganze wieder auf ein Matrixproblem zurueckfuehren, indem du so die darstellende Matrix ausrechnest!

Hilft dir das weiter?

LG Felix



Bezug
                
Bezug
Kern/Bild von Polynomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 Fr 06.01.2006
Autor: muhkuh

ah na klar! danke =)
die darstellende matrix hatte ich auch schon, nur war ich zu blöd den kern von der auszurechnen und hab stattdessen versucht das von dem polynom zu machen =)

Bezug
                        
Bezug
Kern/Bild von Polynomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Fr 06.01.2006
Autor: felixf


> ah na klar! danke =)
>  die darstellende matrix hatte ich auch schon, nur war ich
> zu blöd den kern von der auszurechnen und hab stattdessen
> versucht das von dem polynom zu machen =)

Nun mit dem Polynom selber ists auch nicht so schwer, wenn du $p(x) = [mm] \lambda_3 x^3 [/mm] + [mm] \lambda_2 x^2 [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] x + [mm] \lambda_0$ [/mm] einsetzt und [mm] $\frac{p(x) + p(-x)}{2}$ [/mm] ausrechnest siehst du sofort wann ein solches Polynom im Kern ist :)

LG Felix


Bezug
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