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Forum "Vektoren" - Kern/Bild linearer Abbildung
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Kern/Bild linearer Abbildung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Mo 19.01.2015
Autor: canyakan95

Aufgabe
Wir betrachten den Vektorraum V = [mm] \IR^2 [/mm] und die lineare Abbildung
[mm] \Delta [/mm] : V [mm] \Rightarrow [/mm] V , [mm] \vektor{x \\ y} \to \pmat{ 1/3x & 2/3y + 1/3x & 2/3y } [/mm] = [mm] \pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/3 & 2/3 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm]

a) bestimmen sie den kern und bild [mm] \Delta(habe [/mm] kein fi gefunden).gebe sie jeweils ein erzeugendessystem an.
b)ist [mm] \Delta [/mm] ein Isomorphismus.?
c)richtig oder falsch=? Es gibt eine lineare abbildung [mm] \Delta [/mm] : [mm] \IR^4 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] kern(\Delta) [/mm] = [mm] <(1,0,0,0)^t> [/mm] .

hallo,
bei der aufgabe a habe ich : kern [mm] (\Delta) [/mm] = 1/3x+2/3y=0 [mm] \wedge [/mm] 1/3x+2/3y=0
daraus folgt, dass mein erzeugendes system [mm] <(\vektor{-2 \\ 1})> [/mm] ist.
zum bild [mm] (\Delta) [/mm] habe ich folgendes gemacht: -2x+y=0 == y=2x, daher ist mein erzeugendes system [mm] <(\vektor{2 \\ 1})>. [/mm]

bei der aufgabe b bin ich so vorgegangen:
eigenschaften von isormorphismen: 1) umkehrabbildung ist auch isomorph
2)hintereinanderausführung ist isomorph
3) es ist eine äquivalenzrelation

1.eigenschaft ist ja trivial. z.z. bleibt nur noch das [mm] \Delta^-1 [/mm] linear ist.
da habe ich folgendes [mm] \Delta^-1= \Delta^-1(x+y) [/mm]
[mm] =\Delta^-1(\Delta(x)+\Delta(y)) [/mm]
[mm] =\Delta^-1(\Delta(x+y) [/mm]
=x+y
[mm] =\Delta^-1(x) [/mm] + [mm] \Delta^1-(y) [/mm]
2.eigenschaft folgt aus der Bijektivitat von Hintereinanderausfuhrungen
bijektiver Abbildungen.
3.eigenschaft : reflexivität: V [mm] \to [/mm] V : v [mm] \to [/mm] v [mm] \Rightarrow [/mm] V [mm] \cong [/mm] V
symmetrie: wegen 1 folgt, die symmetrie eigenschaft.
transitivität: wegen der 2.eigenschaft folgt,dass die hintereinanderschaltung bijektiv ist, damit ist es auch tranistiv.

und bei der c ) brauche ich eurer hilfe
mfg


        
Bezug
Kern/Bild linearer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mo 19.01.2015
Autor: fred97


> Wir betrachten den Vektorraum V = [mm]\IR^2[/mm] und die lineare
> Abbildung
>  [mm]\Delta[/mm] : V [mm]\Rightarrow[/mm] V , [mm]\vektor{x \\ y} \to \pmat{ 1/3x & 2/3y + 1/3x & 2/3y }[/mm]



Das soll wohl lauten [mm] \vektor{1/3 x+ 2/3y \\ 1/3 x+ 2/3 y} [/mm]



> = [mm]\pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/3 & 2/3 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
>  
> a) bestimmen sie den kern und bild [mm]\Delta(habe[/mm] kein fi
> gefunden).gebe sie jeweils ein erzeugendessystem an.
>  b)ist [mm]\Delta[/mm] ein Isomorphismus.?
>  c)richtig oder falsch=? Es gibt eine lineare abbildung
> [mm]\Delta[/mm] : [mm]\IR^4 \to \IR^2[/mm] mit [mm]kern(\Delta)[/mm] = [mm]<(1,0,0,0)^t>[/mm]
> .
>  hallo,
>  bei der aufgabe a habe ich : kern [mm](\Delta)[/mm] = 1/3x+2/3y=0
> [mm]\wedge[/mm] 1/3x+2/3y=0
>  daraus folgt, dass mein erzeugendes system [mm]<(\vektor{-2 \\ 1})>[/mm]
> ist.

Ja, es ist  [mm]<(\vektor{-2 \\ 1})>= kern(\Delta)[/mm]


>  zum bild [mm](\Delta)[/mm] habe ich folgendes gemacht: -2x+y=0 ==
> y=2x, daher ist mein erzeugendes system [mm]<(\vektor{2 \\ 1})>.[/mm]

Das ist völlig falsch ! Was hast Du da gemacht und gedacht ?


>  
> bei der aufgabe b bin ich so vorgegangen:
>  eigenschaften von isormorphismen: 1) umkehrabbildung ist
> auch isomorph

?????


>  2)hintereinanderausführung ist isomorph


Hä ??? Was meinst Du nur ????


>  3) es ist eine äquivalenzrelation

Was ????  Es ist januar !


>  
> 1.eigenschaft ist ja trivial. z.z. bleibt nur noch das
> [mm]\Delta^-1[/mm] linear ist.
>  da habe ich folgendes [mm]\Delta^-1= \Delta^-1(x+y)[/mm]
>  
> [mm]=\Delta^-1(\Delta(x)+\Delta(y))[/mm]
>  [mm]=\Delta^-1(\Delta(x+y)[/mm]
>  =x+y
>  [mm]=\Delta^-1(x)[/mm] + [mm]\Delta^1-(y)[/mm]
>  2.eigenschaft folgt aus der Bijektivitat von
> Hintereinanderausfuhrungen
>  bijektiver Abbildungen.
>  3.eigenschaft : reflexivität: V [mm]\to[/mm] V : v [mm]\to[/mm] v
> [mm]\Rightarrow[/mm] V [mm]\cong[/mm] V
>  symmetrie: wegen 1 folgt, die symmetrie eigenschaft.
>  transitivität: wegen der 2.eigenschaft folgt,dass die
> hintereinanderschaltung bijektiv ist, damit ist es auch
> tranistiv.


Das ist doch alles Quatsch mit Soße !

[mm] \Delta [/mm] ist kein Isomorphismus, denn [mm] \Delta [/mm] ist nicht bijektiv !


>  
> und bei der c ) brauche ich eurer hilfe

Solch eine lineare Abbildung gibt es nicht. Denke an den Rangsatz (Dimensionssatz)

FRED

> mfg
>  


Bezug
                
Bezug
Kern/Bild linearer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Mo 19.01.2015
Autor: canyakan95

hey kannse mir vllt sagen nach welcher formel ich den bild bestimme.
wüsste nicht wie ich da anders ran gehen sollte.

und bei der aufgabe b habe ich versucht die eigenschaften zu beweisen. die wurden in der vorlesung uns so gezeigt.
1) Ist [mm] \Delta [/mm] : U [mm] \to [/mm] V ein Isomorphismus, so ist die umkehrabbildung auch ein isomorphismus.
2) sind U [mm] \to [/mm] V und V [mm] \to [/mm] W isomorphismen, so sind die hintereinanderausführung auch isomorphismen.
3) die isomorphie ist eine äquivalenzrelation auf der menge der k-vektorräume.


und ich habe versucht, die 3 eigenschaften irgendwie zu beweisen.
und meinst du mit dem rangsatz, folgendes: Je zwei endlich dimensionale K-Vektorräume derselben Dimension n sind isomorph.
mfg

Bezug
                        
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Kern/Bild linearer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mo 19.01.2015
Autor: leduart

Hallo
da steht doch, auf was alle Vektoren (x,y) abgebildet werden?
Und wenn das Bild von [mm] \Ir^2 [/mm] 1 d ist, kann es dann eine isomorphe Abbilsung sein?
du musst einfach manchmal den gesunden Menschenverstand bemühen!
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Kern/Bild linearer Abbildung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Mo 19.01.2015
Autor: canyakan95

hey ,
ich weis jetzt , dass mein bild = [mm] \IR^2 [/mm] ist.
wisst ihr vllt wie ich das formal aufschreibe?

Bezug
                                        
Bezug
Kern/Bild linearer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Mo 19.01.2015
Autor: fred97


> hey ,
>  ich weis jetzt , dass mein bild = [mm]\IR^2[/mm] ist.

Das stimmt nicht !


FRED


>  wisst ihr vllt wie ich das formal aufschreibe?  


Bezug
                                                
Bezug
Kern/Bild linearer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Mo 19.01.2015
Autor: canyakan95

warum denn kann den mir keiner erklären wie das so richtig geht, bin richtig aus dem takt und verstehe das net .
mfg

Bezug
                                                        
Bezug
Kern/Bild linearer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mo 19.01.2015
Autor: leduart

Hallo
du hast doch einen ganzen Unterraum von [mm] \IR^2 [/mm] der auf 0 abgebildet wird! (der Kern!
dann kann das Bild nicht mehr 2d sein dim(Kern+dimbild=2
bilde doch mal ein paar Vektoren ab (0,1) (1,0) (5,7) (a,b) was sind die Bilder? ausser den Vektoren, die im Kern liegen)
Gruß leduart

Bezug
                        
Bezug
Kern/Bild linearer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mo 19.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> hey kannse mir vllt sagen nach welcher formel ich den bild
> bestimme.
>  wüsste nicht wie ich da anders ran gehen sollte.

MBwie_man_das_Bild_einer_linearen_Abbildung_bestimmt

>  
> und bei der aufgabe b habe ich versucht die eigenschaften
> zu beweisen. die wurden in der vorlesung uns so gezeigt.
>  1) Ist [mm]\Delta[/mm] : U [mm]\to[/mm] V ein Isomorphismus, so ist die
> umkehrabbildung auch ein isomorphismus.
>  2) sind U [mm]\to[/mm] V und V [mm]\to[/mm] W isomorphismen, so sind die
> hintereinanderausführung auch isomorphismen.
>  3) die isomorphie ist eine äquivalenzrelation auf der
> menge der k-vektorräume.

Diese Bedingungen zeigen nur wie man mit Isomorphismen auf
K-Vektorräumen eine Äquivalenzrelation definieren kann.

Um zu prüfen ob eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen
ein Isomorphismus ist, muss man feststellen, ob die Abbildung bijektiv,
also injektiv und surjektiv ist.

Eine lineare Abbildung f: V -> W zwischen endlich dimensionalen
K-Vektorräumen V, W ist injektiv, wenn der Kern von f nur aus dem
Nullvektor besteht. f ist surjektiv, wenn Bild(f) = W


>  
>
> und ich habe versucht, die 3 eigenschaften irgendwie zu
> beweisen.
>  und meinst du mit dem rangsatz, folgendes: Je zwei endlich
> dimensionale K-Vektorräume derselben Dimension n sind
> isomorph.

Siehe []Rangsatz

>  mfg

Gruß
meili

Bezug
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