Kern & Bild einer linearen Abb < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte die lineare Abbildung F: [mm] \IP_3 \to \IR^2, [/mm] f [mm] \to \vektor{f(1) \\ f'(1)}, [/mm]
wobei f'(x) = [mm] \summe_{i=1}^{3} ia_i x^{i-1}, [/mm] falls f [mm] \in \IP_3, [/mm] und f(x) = [mm] \summe_{i=0}^{3} a_i x^i
[/mm]
a) berechne Kern und Bild
b) gib eine Basis des Kerns und des Bildes an |
Hallo Leute, ich brauch eure Hilfe :)
den Kern berechnet man ja indem man F(x) = 0 setzt, dass ist eigendlich kein Problem. Aber ich hab leider keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll, bisher war immer eine Matrix gegeben...
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Hallo,
> Betrachte die lineare Abbildung F: [mm]\IP_3 \to \IR^2,[/mm] f [mm]\to \vektor{f(1) \\ f'(1)},[/mm]
> wobei f'(x) = [mm]\summe_{i=1}^{3} ia_i x^{i-1},[/mm] falls f [mm]\in \IP_3,[/mm]
> und f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{3} a_i x^i[/mm]
> a) berechne Kern und
> Bild
> b) gib eine Basis des Kerns und des Bildes an
> Hallo Leute, ich brauch eure Hilfe :)
>
> den Kern berechnet man ja indem man F(x) = 0 setzt, dass
> ist eigendlich kein Problem. Aber ich hab leider keine
> Ahnung wie ich hier vorgehen soll, bisher war immer eine
> Matrix gegeben...
Überlege erstmal, was die Abildung [mm]F[/mm] überhaupt macht ...
Hier sind die Vektoren Polynome vom Grad [mm]\le 3[/mm].
Was macht die Abbildung [mm]F[/mm] mit einem Polynom [mm]f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm]?
Es bildet es ab auf [mm]F(f(x))=\vektor{f(1)\\f'(1)}=\vektor{a_3+a_2+a_1+a_0\\3a_3+2a_2+a_1}[/mm]
Denn [mm]f'(x)=3a_3x^2+2a_2x+a_1[/mm] und damit [mm]f'(1)=3a_3+2a_2+a_1[/mm]
Hilft dir das schon weiter?
Gruß
schachuzipus
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Ok, wenn ich dann [mm] F(f(x))=\vektor{f(1)\\f'(1)}=\vektor{a_3+a_2+a_1+a_0\\3a_3+2a_2+a_1} [/mm] = 0 setze, erhalte ich :
[mm] a_3+a_2+a_1+a_0 [/mm] = 0 und [mm] 3a_3+2a_2+a_1 [/mm] = 0.
[mm] \Rightarrow a_1 [/mm] = [mm] -3a_3-2a_2 [/mm] und [mm] a_0 [/mm] = [mm] 2a_3+a_2
[/mm]
Dann wähle ich [mm] a_3 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = 1 und erhalte [mm] a_1 [/mm] = -5 und [mm] a_0 [/mm] = 3.
[mm] \Rightarrow [/mm] Kern(F) = [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> Ok, wenn ich dann
> [mm]F(f(x))=\vektor{f(1)\\f'(1)}=\vektor{a_3+a_2+a_1+a_0\\3a_3+2a_2+a_1}[/mm]
> = 0 setze, erhalte ich :
> [mm]a_3+a_2+a_1+a_0[/mm] = 0 und [mm]3a_3+2a_2+a_1[/mm] = 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Rightarrow a_1[/mm] = [mm]-3a_3-2a_2[/mm] und [mm]a_0[/mm] = [mm]2a_3+a_2[/mm]
> Dann wähle ich [mm]a_3[/mm] = [mm]a_2[/mm] = 1 und erhalte [mm]a_1[/mm] = -5 und [mm]a_0[/mm]
> = 3.
Du willst aber doch die allgemeine Lösungsmenge haben, du hast [mm] $a_2,a_3$ [/mm] als freie Parameter, meinetwegen [mm] $a_2=s, a_3=t$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Kern(F) = [mm]\vektor{0 \\ 0}.[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Hää?
Der Kern ist doch ein Unterraum des Urbildraumes, also von [mm] $\IP_3$ [/mm] ...
> Stimmt das so?
Nein, eine gewisse Teilmenge von Polynomen aus [mm] $\IP_3$ [/mm] bildet den Kern(F)
Gruß
schachuzipus
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Ker(F) = < [mm] \vektor{t \\ s\\-3t-2s\\2t+s} [/mm] > und Im(F) = < [mm] \vektor{t \\ 3t}\vektor{s \\ 2s} [/mm] > ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Do 12.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ker(F) = < [mm]\vektor{t \\ s\\-3t-2s\\2t+s}[/mm] > und Im(F) = <
> [mm]\vektor{t \\ 3t}\vektor{s \\ 2s}[/mm] > ?
ich verstehe nicht, was Du meinst, ich hab keine Ahnung, wie Du darauf kommst.
Richtig ist es jedenfalls nicht.
FRED
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Ich erhalte doch [mm] a_3=t, a_2=s, a_1=-2t-2s, a_0=2t+s.
[/mm]
Stimmt dann Ker(F) = [mm] \vektor{t+s+(-3t-2s) \\ 3t+2s+(-3t-2s)} [/mm] = [mm] \vektor{-2t-s \\ 0} [/mm] ?
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> Ich erhalte doch [mm]a_3=t, a_2=s, a_1=-2t-2s, a_0=2t+s.[/mm]
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> Stimmt dann Ker(F) = [mm]\vektor{t+s+(-3t-2s) \\ 3t+2s+(-3t-2s)}[/mm]
Ganz sicher nicht, denn der Kern besteht doch aus Polynomen.
Du bekommst aus dem von oben, daß alle Polynome p der Machart
[mm] p=tx^3+sx^2+(-2t-2s)x+(2t+s)=t(x^3-2x+2)+s(x^2-2x+1)
[/mm]
im Kern liegen und weißt, daß der Kern aufgespannt wird von [mm] (x^3-2x+2) [/mm] und [mm] (x^2-2x+1).
[/mm]
LG Angela
> = [mm]\vektor{-2t-s \\ 0}[/mm] ?
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