Kern/Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe (leider immernoch) Probleme beim Thema Algebra, wenn es um lineare ABbildungen, den Kern und das Bild geht.
Das gute ist, dass ich es wirklich nur im Grundsatz wissen muss, also nicht großartig mathematisch kompliziert, aber trotzdem macht es mir persönlich noch große Probleme.
Ich versuche sie mal verständlich in Worte zu fassen, damit ich das Thema endlich verstehe :(
Dimension:
Das sind doch einfach meine Spalten - meinen Rang, oder? Und was sagt mir die Dimension dann? Die maximale ANzahl linear unabhängiger Vektoren?
Ist das gleichzeitig auch immer meine DImension vom Kern?
Dann hatte ich dazu noch einen Merksatz: Habe ich mehr Vektoren als Dimensionen (gemeint ist jetzt der Exponent von [mm] \IR), [/mm] dann kann ich direkt sagen, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Ist das richtig? Ich habe die Version nochmal in "linear abhängig" und weiß jetzt nicht, was die richtige Form ist.
Wenn ich den Kern einer linearen ABbildung berechne, setze ich ja meine Abbildungsmatrix =0, sodass ich etwas von der Form Ax=0 habe. Dann berechne ich eben den Nullraum und seine Basen.
Dann habe ich aber den Satz gefunden:
Kern [mm] \varphi={x= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} }+dim(Kern \varphi)=1
[/mm]
Die 1 ist wahrscheinlich aus dem Zusammenhang gerissen, aber was sagt mir dieser Satz anschließend?
Dann gibt es ja noch den tollen Satz
dim V=dim(Bild [mm] \varphi)+dim(Kern \varphi). [/mm] Die Dimension des Kerns kann ich ja nun berechnen (s.o), aber was ist die Dimension des Bildes meiner linearen ABbildung?
Muss ich das also gar icht berechnen, weil ich anhand meines angegebenen [mm] \IR [/mm] weiß, was meine dim V ist und wenn ich dim Kern berechnet habe, muss ich diese nur voneinander abziehen?
Auf der anderen Seite habe ich aber auch gesehen, dass die dim(Bild [mm] \varphi) [/mm] =Rang(A) ist. Demnach kann ich hierfür einfach meinen Rang einsetzen?
Außerdem fiel mir der Satz in die Hände:
"Die j-te Spalte von der Matrix A ist das Bild von [mm] e_j=(0,...,0,1,0...,0)^t"
[/mm]
Was sagt mir das nun aus? Was ist denn die j-te Spalte, i Grunde doch meine rechte, letzte Spalte. ABer was hat diese mit [mm] e_j [/mm] zu tun und mit dem Bild?
Und: Wenn ich rang A=Rang(A,b) habe, so liegt der Lösugsvektor b im Span von [mm] v_1...v_n.
[/mm]
Was sagt mir der Span und warum liegt dann b auf jeden Fall darin?
Hat das was mit der Schreibweise zu tun die ich benutze, wenn ich mein Ax=b-Gleichungssystem auflöse und sage:
[mm] L(A,B)=x_0 [/mm] + N(A)? Und wenn ich mehrere Basen des Nullraums/Kerns gefunden habe, dann sage ich ja span von den Basen.
Ich danke euch für eure Hilfe!!
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> Dimension:
Hallo,
die Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis.
> Das sind doch einfach meine Spalten - meinen Rang, oder?
Interessierst Du Dich für die Dimension des Bildes einer Matrix, so ist diese Dimension = dem Rang.
> Und was sagt mir die Dimension dann? Die maximale ANzahl
> linear unabhängiger Vektoren?
Ja, die Dimension des Bildes ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten der Matrix.
Diese Anzahl ermittelst Du über den Rang.
> Ist das gleichzeitig auch immer meine DImension vom Kern?
Nein. Die Dimension des Kerns ist die Anzahl der Basisvektoren des Kerns. Die Basis des kerns kannst Du längst ausrechnen, und das Zählen der Vektoren ist nicht schwer.
>
> Dann hatte ich dazu noch einen Merksatz: Habe ich mehr
> Vektoren als Dimensionen (gemeint ist jetzt der Exponent
> von [mm]\IR),[/mm] dann kann ich direkt sagen, dass die Vektoren
> linear unabhängig sind. Ist das richtig?
Nein. Wenn man Dir 6 Vektoren mit jeweils 4 Komponenten gibt, also 6 vektoren des [mm] \IR^4, [/mm] weiß man ohne zu rechnen, daß sie linear abhängig sind.
> Ich habe die
> Version nochmal in "linear abhängig" und weiß jetzt nicht,
> was die richtige Form ist.
Diese.
>
> Wenn ich den Kern einer linearen ABbildung berechne, setze
> ich ja meine Abbildungsmatrix =0, sodass ich etwas von der
> Form Ax=0 habe. Dann berechne ich eben den Nullraum und
> seine Basen.
Ja.
> Dann habe ich aber den Satz gefunden:
> Kern [mm]\varphi={x= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} }+dim(Kern \varphi)=1[/mm]
>
> Die 1 ist wahrscheinlich aus dem Zusammenhang gerissen,
> aber was sagt mir dieser Satz anschließend?
Keine Ahnung. Die Aussage ist sinnlos. denn hier wird ein Vektor zu einer Zahl addiert. Vergessen.
>
> Dann gibt es ja noch den tollen Satz
>
> dim V=dim(Bild [mm]\varphi)+dim(Kern \varphi).[/mm] Die Dimension
> des Kerns kann ich ja nun berechnen (s.o), aber was ist die
> Dimension des Bildes meiner linearen ABbildung?
S.o.
>
> Muss ich das also gar icht berechnen, weil ich anhand
> meines angegebenen [mm]\IR[/mm] weiß, was meine dim V ist und wenn
> ich dim Kern berechnet habe, muss ich diese nur voneinander
> abziehen?
Ja, solange nur die Dimensionen gefordert sind und Du nicht eine Basis angeben sollst.
>
> Auf der anderen Seite habe ich aber auch gesehen, dass die
> dim(Bild [mm]\varphi)[/mm] =Rang(A) ist. Demnach kann ich hierfür
> einfach meinen Rang einsetzen?
Ja.
>
> Außerdem fiel mir der Satz in die Hände:
> "Die j-te Spalte von der Matrix A ist das Bild von
> [mm]e_j=(0,...,0,1,0...,0)^t"[/mm]
> Was sagt mir das nun aus? Was ist denn die j-te Spalte, i
> Grunde doch meine rechte, letzte Spalte. ABer was hat diese
> mit [mm]e_j[/mm] zu tun und mit dem Bild?
Nimm mal eine Matrix, z.B. [mm] \pmat{1&2&3\\4&5&6??7&8&9} [/mm] und multipliziere sie nacheinander mit [mm] e_1=\vektor{1\\0\\0}, e_2=\vektor{0\\1\\0}, e_3=\vektor{0\\0\\3}.
[/mm]
Du wirst sehen,
daß das Bild von [mm] e_1, [/mm] also [mm] Ae_1 [/mm] gerade die 1. Spalte von A ist,
daß das Bild von [mm] e_2, [/mm] also [mm] Ae_2 [/mm] gerade die 2. Spalte von A ist,
daß das Bild von [mm] e_3, [/mm] also [mm] Ae_3 [/mm] gerade die 3. Spalte von A ist.
> Und: Wenn ich rang A=Rang(A,b) habe, so liegt der
> Lösugsvektor b im Span von [mm]v_1...v_n.[/mm]
Dazu kann man gar nichts sagen, solange nicht klar ist,was [mm] v_1, ...,v_n [/mm] sein sollen.
Aber die Lösungen von inhomogenen GSen kannst Du doch berechnen.
> Hat das was mit der Schreibweise zu tun die ich benutze,
> wenn ich mein Ax=b-Gleichungssystem auflöse und sage:
> [mm]L(A,B)=x_0[/mm] + N(A)? Und wenn ich mehrere Basen des
> Nullraums/Kerns gefunden habe, dann sage ich ja span von
> den Basen.
Das ist jedenfalls richtig. "Span der Basisvektoren" sagt man übrigens.
Gruß v. Angela
>
> Ich danke euch für eure Hilfe!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Danke, danke, danke!! :o)
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> > Und: Wenn ich rang A=Rang(A,b) habe, so liegt der
> > Lösugsvektor b im Span von [mm]v_1...v_n.[/mm]
>
> Dazu kann man gar nichts sagen, solange nicht klar ist,was
> [mm]v_1, ...,v_n[/mm] sein sollen.
>
[mm] A=(v_1...v_n) [/mm] steht hier noch drüber
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Hallo Englein,
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> > > Und: Wenn ich rang A=Rang(A,b) habe, so liegt der
> > > Lösugsvektor b im Span von [mm]v_1...v_n.[/mm]
> >
> > Dazu kann man gar nichts sagen, solange nicht klar ist,was
> > [mm]v_1, ...,v_n[/mm] sein sollen.
> >
>
> [mm]A=(v_1...v_n)[/mm] steht hier noch drüber
Ok, dann bezeichnen [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] die Spaltenvektoren der Matrix.
Und wenn $Rang(A)=Rang(A|b)$ ist, so ist das LGS $Ax=b$ lösbar, dh. du kannst den Vektor $b$ darstellen als LK der Spaltenvektoren von A, dh, als LK der [mm] $v_i$
[/mm]
Anders gesagt: b liegt im Bild(A)
LG
schachuzipus
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> > Außerdem fiel mir der Satz in die Hände:
> > "Die j-te Spalte von der Matrix A ist das Bild von
> > [mm]e_j=(0,...,0,1,0...,0)^t"[/mm]
> > Was sagt mir das nun aus? Was ist denn die j-te Spalte,
> i
> > Grunde doch meine rechte, letzte Spalte. ABer was hat diese
> > mit [mm]e_j[/mm] zu tun und mit dem Bild?
>
Heißt das eigentlich nicht im Grunde, dass ich bei linearen Abbildungen, also der Form Ax=0 gar nicht die Regeln der Linearität anwenden muss, wenn ich danach gefragt würde, sondern einfach diesen Satz anwende und für jeden EInheitsvektor den Vektor aus der Matrize nehme?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 01.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich begreife deine Frage nicht!
Der Satz oberhalb, den du da zitierst, hat gar nichts mit Ax=0 zu tun.
und um lineare abb. handelt es sich doch die ganze Zeit?
was heisst "die Regeln der Linearitaet anwenden?"
die menge der Loesungen von Ax=0 heisst Kern, wie man den bestimmt hat dir angela beigebracht.
multiplizier mal irgend ne einfache z. Bsp 3x3 matrix mit nacheinander (1,0,0) (0,1,0) und (0,0,1) dann hast du die Bilder der 3. vergleich sie mit den spalten deiner Matrix!
Gruss leduart
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> was heisst "die Regeln der Linearitaet anwenden?"
Ich meine damit, dass wenn ich eine lineare ABbildung bekomme, dass ich definitiv nicht mehr die Aufgabe bekommen könnte, untersuche auf Linearität, weil das definitiv schonmal eine lineare ABbildung sein muss, oder? Und ich dachte, wenn es heißt, bestimmen Sie das Bild der linearen Abbildung, dass ich dann die Spalten mit den EInheitsvektoren multiplizieren muss und das dann stimmt.
> die menge der Loesungen von Ax=0 heisst Kern, wie man den
> bestimmt hat dir angela beigebracht.
> multiplizier mal irgend ne einfache z. Bsp 3x3 matrix mit
> nacheinander (1,0,0) (0,1,0) und (0,0,1) dann hast du die
> Bilder der 3. vergleich sie mit den spalten deiner Matrix!
Verstehe ich nicht.
Habe ich die Matrix
1 3 6
2 6 6
4 9 6
Und multipliziere jede Spalte mit dem jeweiligen EInheitsvektor habe ich doch
1 0 0
0 6 0
0 0 6
Und jetzt?
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>
> > was heisst "die Regeln der Linearitaet anwenden?"
>
> Ich meine damit, dass wenn ich eine lineare ABbildung
> bekomme, dass ich definitiv nicht mehr die Aufgabe bekommen
> könnte, untersuche auf Linearität, weil das definitiv
> schonmal eine lineare ABbildung sein muss, oder? Und ich
> dachte, wenn es heißt, bestimmen Sie das Bild der linearen
> Abbildung, dass ich dann die Spalten mit den
> EInheitsvektoren multiplizieren muss und das dann stimmt.
Hallo,
verstehe ich nicht.
>
> > die menge der Loesungen von Ax=0 heisst Kern, wie man den
> > bestimmt hat dir angela beigebracht.
> > multiplizier mal irgend ne einfache z. Bsp 3x3 matrix
> mit
> > nacheinander (1,0,0) (0,1,0) und (0,0,1) dann hast du die
> > Bilder der 3. vergleich sie mit den spalten deiner Matrix!
>
> Verstehe ich nicht.
>
> Habe ich die Matrix
>
> 1 3 6
> 2 6 6
> 4 9 6
>
> Und multipliziere jede Spalte mit dem jeweiligen
> EInheitsvektor habe ich doch
>
> 1 0 0
> 0 6 0
> 0 0 6
>
> Und jetzt?
Multipliziere Deine Matrix mal mit [mm] \vektor{1\\0\\0}. [/mm] Da kommt doch nicht [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] heraus!
Gruß v. Angela
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