Kern A*= (Bild A) Senkr. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Olek |
Schönen Tag zusammen,
ich soll unter anderem Beweisen, dass Kern A*=(Bild [mm] A)^{\perp}
[/mm]
Vielleicht könnt ihr mir zeigen wie man das macht, damit ich Bild A*=(Kern [mm] A)^{\perp} [/mm] dann selbst hinkriege.
Schönen Dank,
Olek
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Hallo Olek,
ich nehme jetzt einfach mal an, dass du mit [mm] $A^{\*}$ [/mm] die Adjungierte in einem Innenproduktraum X bezeichnest, will sagen: [mm] $\langle A^\* x;y\rangle =\langle x;Ay\rangle$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$.
Also: Nimm einen Vektor [mm] $x\in \mathrm{Kern}(A^\*)$ [/mm] und einen Vektor [mm] $y\in \mathrm{Bild}(A)$. [/mm] Also gibt es ein [mm] $z\in [/mm] X$, so dass $Az=y$. Jetzt gilt:
[mm] $\langle x;y\rangle=\langle [/mm] x [mm] ;Az\rangle=\langle A^\*x;z\rangle=\langle 0;z\rangle=0$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Olek |
Hi banachella,
mit deiner Annahme liegst du richtig ;)
Hier hapert es noch etwas:
[mm] \langle A^*x;z\rangle=\langle 0;z\rangle=0
[/mm]
wird A^* zu 0, weil es ein Element des Kerns ist? Und was habe ich gezeigt, wenn am Ende Null rauskommt? Das [mm] A^{\perp} [/mm] kommt bei dir nämlich noch gar nicht vor!?
Gruß,
Ole
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Ja, [mm] $A^\*x=0$, [/mm] weil $x$ im Kern von [mm] $A^\*$ [/mm] liegt. Und dadurch, dass [mm] $\langle x;y\rangle [/mm] =0$ ist, ist gezeigt, dass Elemente des Kerns von [mm] $A^\*$ [/mm] und Elemente des Bildes von $A$ aufeinander senkrecht stehen!
Gruß, banachella
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:00 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Olek |
Dankeschön,
habe mich nun mit diesem Wissen an dem zweiten Tei der Aufgabe versucht:
Es sei zu zeigen:
Bild [mm] A^{*} [/mm] = (Kern [mm] A)^{\perp}
[/mm]
Ich habs so gemacht:
Sei [mm] x\in \mathrm{Bild}(A^{*}) [/mm] und [mm] y\in \mathrm{Kern}(A).
[/mm]
Dann ist Az=x so, dass [mm] \langle y;x\rangle=\langle y;Az\rangle=\langle A^{*}y;z\rangle=\langle 0;z\rangle=0
[/mm]
Ist das so richtig?
Was mich noch etwas wundert, ist dass du Ax=y gesetzt hast, und dann bei [mm] \langle x;y\rangle=\langle [/mm] x [mm] ;Az\rangle [/mm] für das y nicht Ax, sonder Az eingesetzt hast.
Einen schönen Dank für deine Mühe,
Olek
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Hi Olek
Ich kann das dritte Gleichheitszeichen bei dir nicht nachvollziehen aber du kannst die Aussage ganz einfach durch den Teil i und die Rechenrengeln die uns für A* bekannt sind beweisen. Siehe im skript Seite 14.
bis dann mr coffee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Fr 06.05.2005 | | Autor: | banachella |
Ja, es müsste $Az=y$ heißen... Den Tippfehler habe ich gerade schon korrigiert...
Gruß, banachella
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