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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:15 Do 07.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | | Der Kern von [mm] $\IZ(\IZ_{p}) \to \IC$ [/mm] besteht aus genau den Vielfachen von [mm] $\sum [/mm] = [mm] 1+t+...+t^{p-1}$ [/mm] |
Hallo,
ich muss die obige Aufgabe lösen, aber uns wurden keine Tipps gegeben.
Kann mir bitte einer da weiter helfen? Ich weiß einfach nicht weiter :(
Liebe Grüße
Joan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Do 07.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Joan,
> Der Kern von [mm]\IZ(\IZ_{p}) \to \IC[/mm] besteht aus genau den
> Vielfachen von [mm]\sum = 1+t+...+t^{p-1}[/mm]
was ist [mm] $\IZ(\IZ_p)$, [/mm] und wie sieht die Abbildung aus?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:49 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
Es gilt:
[mm] $\IZ(\IZ_p) \to \IC [/mm] $
$t [mm] \to \zeta$
[/mm]
Kann ich die Aufgabe eigentlich wie folgt lösen?
Für das Kreisteilungspolynom gilt
[mm] $x^n-1= \prod_{d|n} \Phi_d(x)
[/mm]
Der p-te Kreisteilungsköorper wird von [mm] $e^{2\pi i/p}$ [/mm] erzeugt. Als Einheitswurzel ist [mm] $e^{2\pi i/p}$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $X^{p}-1$ [/mm] und wegen [mm] $e^{2\pi i/p} \not= [/mm] 1$ ist [mm] $e^{2\pi i/p}$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] X^{p-1} [/mm] + [mm] X^{p-2} [/mm] + . . . + [mm] X^1 [/mm] + 1.
Das Polynom [mm] X^{p-1} +X^{p-2} [/mm] +. . [mm] .+X^1 [/mm] +1 ist irreduzibel und daher handelt es sich um das Minimalpolynom von [mm] $e^{2\pi i/p}$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Fr 08.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es gilt:
> [mm]\IZ(\IZ_p) \to \IC[/mm]
> [mm]t \to \zeta[/mm]
Ich vermute, du meinst mit [mm] $\IZ(\IZ_p)$ [/mm] den Gruppenring mit Koeffizientenring [mm] $\IZ$ [/mm] und Gruppe [mm] $\IZ_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ$?
[/mm]
Und [mm] $\zeta$ [/mm] ist eine $p$-te primitive Einheitswurzel in [mm] $\IC$?
[/mm]
> Kann ich die Aufgabe eigentlich wie folgt lösen?
>
> Für das Kreisteilungspolynom gilt
> [mm]$x^n-1= \prod_{d|n} \Phi_d(x)[/mm]
>
> Der p-te Kreisteilungsköorper wird von [mm]e^{2\pi i/p}[/mm]
> erzeugt. Als Einheitswurzel ist [mm]e^{2\pi i/p}[/mm] eine
> Nullstelle von [mm]X^{p}-1[/mm] und wegen [mm]e^{2\pi i/p} \not= 1[/mm] ist
> [mm]e^{2\pi i/p}[/mm] eine Nullstelle von [mm]X^{p-1}[/mm] + [mm]X^{p-2}[/mm] + . . .
> + [mm]X^1[/mm] + 1.
> Das Polynom [mm]X^{p-1} +X^{p-2}[/mm] +. . [mm].+X^1[/mm] +1 ist irreduzibel
> und daher handelt es sich um das Minimalpolynom von [mm]e^{2\pi i/p}[/mm].
Das stimmt soweit. Nur: was hast das mit der Aufgabe zu tun?
Beschreibe den Gruppenring doch erstmal explizit als Quotient von [mm] $\IZ[X]$. [/mm] Dann sollte es recht einfach sein.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
meinst du das so?
Der p-te Kreisteilungskörper ist gleich [mm] $\IZ[X]/(X^{p-1} [/mm] + [mm] X^{p-2} [/mm] + . . . + [mm] X^1 [/mm] + 1)$
1 eine Nullstelle von [mm] $X^p [/mm] - 1$. Daher kann man [mm] $X^p [/mm] - 1$ durch
$X - 1$ teilen und erhält
[mm] $\bruch{X^p - 1}{X - 1} [/mm] = [mm] X^{p-1} [/mm] + [mm] X^{p-2} [/mm] + . . . + [mm] X^1 [/mm] + 1$, was Minimalpolynom von [mm] $e^{2\pi i/p}$ [/mm] ist und daher Kern??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 10.06.2012 | | Autor: | felixf |
Hallo Joan
> meinst du das so?
>
> Der p-te Kreisteilungskörper ist gleich [mm]\IZ[X]/(X^{p-1} + X^{p-2} + . . . + X^1 + 1)[/mm]
Nein, das ist der Ring der ganzen Zahlen im $p$-ten Kreisteilungskoerper.
Das Bild vom Homomorphismus liegt da zumindest drinnen. Das wirst du hier benoetigen.
> 1 eine Nullstelle von [mm]X^p - 1[/mm]. Daher kann man [mm]X^p - 1[/mm]
> durch
> [mm]X - 1[/mm] teilen und erhält
> [mm]\bruch{X^p - 1}{X - 1} = X^{p-1} + X^{p-2} + . . . + X^1 + 1[/mm],
> was Minimalpolynom von [mm]e^{2\pi i/p}[/mm] ist
Ja.
> und daher Kern??
Kern wovon? Und wieso?
Versuch doch erstmal [mm] $\IC(\IZ_p)$ [/mm] besser zu verstehen. Wie sieht das genau aus? Beschreibe es in der Form [mm] $\IZ[X]/(f)$ [/mm] fuer ein passendes Polynom $f$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 So 10.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
Jetzt habe ich zeitgleich mit felixf gepostet.
Ist die jetzige Idee trotzdem ganz falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 10.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
Ich habe mittlerweile eine andere, ähnliche Idee:
Sei p eine Primzahl, [mm] $\zeta \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\zeta^p [/mm] = ^, [mm] \zeta \not= [/mm] 1$ eine p-te Einheitswurzel, also [mm] $\zeta [/mm] = [mm] e^{2\pi ik/p}, [/mm] k [mm] \in [/mm] {1,...,p-1}$
[mm] $\Rightarrow 0=\zeta^p [/mm] -1 = [mm] (\zeta-1)(\zeta^{p-1}+...+\zeta+1)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \zeta$ [/mm] ist Nullstelle von [mm] $\phi_p(t) [/mm] := [mm] t^{p-1}+...+t+1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \phi_p(t)$ [/mm] ist Kern des Kreisteilungspolynom.
Kann mir einer sagen, ob dies richtige Lösung zur Aufgabenstellung ist? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 10.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe mittlerweile eine andere, ähnliche Idee:
>
> Sei p eine Primzahl, [mm]\zeta \in \IC[/mm] mit [mm]\zeta^p = ^, \zeta \not= 1[/mm]
> eine p-te Einheitswurzel, also [mm]\zeta = e^{2\pi ik/p}, k \in {1,...,p-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0=\zeta^p -1 = (\zeta-1)(\zeta^{p-1}+...+\zeta+1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \zeta[/mm] ist Nullstelle von [mm]\phi_p(t) := t^{p-1}+...+t+1[/mm]
Soweit ok, aber:
> [mm]\Rightarrow \phi_p(t)[/mm] ist Kern des Kreisteilungspolynom.
macht keinen Sinn. Ein Polynom hat keinen Kern.
> Kann mir einer sagen, ob dies richtige Lösung zur
> Aufgabenstellung ist? :(
Nein. Hier gilt wieder die Frage: was hat das ganze mit der Aufgabenstellung zu tun?
In der Aufgabenstellung sollst du zeigen, dass der Kern eines Homomorphismus von einem bestimmten Element erzeugt wird. Dazu musst du erstmal den Homomorphismus sowie die beteiligten Ringe verstehen. Das Bild vom Homomorphismus hast du mittlerweile beschrieben (es ist [mm] $\IZ[\zeta]$, [/mm] und das ist isomorph zu [mm] $\IZ[X]/(\phi_p(X))$).
[/mm]
Den Ring, aus dem der Homomorphismus geht, musst du aber auch noch verstehen! Der Kern ist schliesslich ein Ideal in diesem. Solange du diesen Ring voellig ignorierst wirst du die Aufgabe nicht loesen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 10.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
Sind wir dann im Ring der Hauptideale?
Heißt es dann, da [mm] $\phi_p [/mm] (t) [mm] \in \IZ[\zeta]$ [/mm] normiert und irreduzibel ist, ist der Kern ein Primideal, das erzeugt wird durch das Kreisteilungspolynom [mm] $\phi_p [/mm] (t)$?
Oder ist diese Überlegung wieder falsch? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mo 11.06.2012 | | Autor: | felixf |
Hallo Joan.
Wenn du die Aufgabe loesen willst, musst du aufhoeren, wild im Nebel herumzustochern, und systematisch an die Aufgabe herangehen.
Dazu gehoert:
(a) verstehe den Ring auf der linken Seite, also [mm] $\IZ(\IZ_p)$;
[/mm]
(b) verstehe den Homomorphismus, insbesondere dessen Bild.
Teil (a) hast du bisher voellig ignoriert, obwohl ich mehrmals versucht habe dich darauf hinzuweisen. Solange du das nicht tust, wirst du die Aufgabe nicht loesen.
> Sind wir dann im Ring der Hauptideale?
Was soll der bitteschoen sein? Meinst du einen Hauptidealbereich?
> Heißt es dann, da [mm]\phi_p (t) \in \IZ[\zeta][/mm] normiert und
> irreduzibel ist,
Das stimmt.
> ist der Kern ein Primideal,
Welcher Kern?!?!??
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:36 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
Hallo Felix,
vielen Dank erstmal, dass du mir hilfst.
zu a)
Wir haben einen Ringhomomorphismus [mm] $\psi: \IZ(\IZ_p) \to \IC$.
[/mm]
Dann ist der Kern $Ker [mm] \psi [/mm] := [mm] \{a \in \IZ(\IZ_p)| \psi(a)=0\}$ [/mm] immer ein Ideal und das Bild von [mm] $\psi$ [/mm] ist ein Unterring.
Vor allem sind im Ring [mm] $\IZ$ [/mm] die Ideale genau die Vielfachenmengen [mm] $\IZ [/mm] m = [mm] \{zm | z \in \IZ\}$, [/mm] also sämtlich Hauptideale.
zu b)
Wir haben das Bild [mm] $\IZ[\IC] \cong \IZ[X]/\phi_p(t)$ [/mm] mit [mm] $\phi_p(t) [/mm] := [mm] t^{p-1}+...+t+1$.
[/mm]
Also haben wir ein Faktorring, dessen Elemente die Form $a+I [mm] :=\{a+i| i \in I\}$ [/mm] haben.
Ist der Kern ein Hauptideal $<P>$, das von [mm] $1-\zeta$ [/mm] erzeugt wird?
Also: [mm] $=(1-\zeta)^{p-1}$
[/mm]
Oder durchforste ich wieder nur Nebel?
Ich weiß nicht mehr weiter :(
Hilfeeeee? :(
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:33 Di 12.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
Wenn der Kern das Vielfache von [mm] $\phi_p$ [/mm] sein soll, kann der Kern eigentlich kein Hauptideal sein, oder?
Gilt vielmehr als Kern
[mm] $\phi_p(x)\cdot\IZ[X] [/mm] + [mm] p\IZ[X]?
[/mm]
Kann mir bitte einer helfen, sonst bin ich am Donnerstag dran :(
Vielleicht nur ein Tipp?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mi 13.06.2012 | | Autor: | hippias |
Ich komme mit Deinen Bezeichnungen nicht ganz klar, aber ich wuerde in etwa folgendes machen:
Betrachte den Einsetzungshomomorphismus [mm] $\alpha:\IZ[X]\to \IC$ [/mm] mit [mm] $X\mapsto \zeta$, $\zeta$ [/mm] primitive $p$-te Einheitswurzel. Zeige, dann [mm] $Kern\alpha= \phi_{p}\IZ[X]$ [/mm] ist - dabei koennte helfen zu wissen [mm] $\phi_{p}$ [/mm] das Minimalpolynom von [mm] $\zeta$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist.. Da [mm] $X^{p}-1\in Kern\alpha$ [/mm] ist und [mm] $\IZ[X]/(X^{p}-1)\cong \IZ(\IZ_{p})$ [/mm] - wenn ich das richtig interpretiere - dann hat nach dem Isomorphiesatz die induzierte Abbildung [mm] $:\IZ(\IZ_{p})\to \IC$ [/mm] den Kern [mm] $\phi_{p}\IZ(\IZ_{p})$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Joan2 |
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe, hippias
Jetzt hab ich wieder Hoffnung die Aufgabe lösen zu können :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 15.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 15.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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