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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Gero |
Hallöle, ich bräuchte mal wieder eure Hilfe bei folgender Aufgabe:
"Sei A [mm] \in Mat_{n}(K). [/mm] Zeige: es gibt ein j [mm] \le [/mm] n mit
ker A [mm] \subset [/mm] ker A ^{2} [mm] \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] ker [mm] A^{j} [/mm] = ker [mm] A^{j+1} [/mm] =..."
Zuerst einmal, steht in der Aufgabe nicht direkt [mm] \subset, [/mm] sondern [mm] \subseteq [/mm] mit, wobei der untere Strich durchgestrichen wurde. Aber ich denke mal, dass dies das gleiche ist, oder?
Dann versteh ich nochmal was nicht: Wenn ich z.B. für j=1 einsetze [mm] \Rightarrow [/mm] ker A = ker [mm] A^{2}. [/mm] Aber das würde sich ja mit ker A [mm] \subset [/mm] ker [mm] A^{2} [/mm] widersprechen. Oder versteh ich da was falsch?
Insgesamt, weiß ich auch nicht wirklich, wie ich das zeigen soll.
Ich weiß, ich stell hier gerade sehr viele Fragen, aber vielleicht gibt es ja jemanden, der mir sie beantworten kann!
Danek schonmal im voraus!
Gruß Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Gero!
Zunächst einmal heißt es ja: Es gibt ein solches $j$, d.h. du kannst für $j$ nicht etwas $x$-Beliebiges einsetzen. Die Behauptung ist also, dass die Kerne [mm] $Kern(A^i)$ [/mm] alle ineinander liegen und irgendwann alle gleich sind (d.g. die Folge wird stationär).
Also: Zeigen wir zunächst einmal, dass für alle $i [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $Kern(A^i) \subset Kern(A^{i+1})$.
[/mm]
Dies ist aber trivial. Denn aus $x [mm] \in Kern(A^i)$ [/mm] folgt $A^ix=0$, und daraus (wenn man auf beiden Seiten von links mit der Matrix $A$ multipliziert):
[mm] $A^{i+1}x [/mm] = A(A^ix) = [mm] A\cdot [/mm] 0 = 0$,
also:
$x [mm] \in Kern(A^{i+1})$.
[/mm]
So, wäre die folge nun nicht stationär, so würde für alle $i [mm] \in \IN$ [/mm] gelten:
[mm] $\dim(Kern(A^{i}))< dim(Kern(A^{i+1}))$.
[/mm]
Dies führt aber zu einem Widerspruch, dass die Mengen [mm] $Kern(A^{i})$ [/mm] alles Untervektorräume des [mm] $K^n$ [/mm] sind und daher
[mm] $\dim(Kern(A^i)) \le [/mm] n$
für alle $i [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Die Folge [mm] $(\dim(Kern(A^i)))_{i \in \IN}$ [/mm] ist also durch $n$ nach oben beschränkt. Daher muss es ein $j [mm] \in \IN$ [/mm] geben mit
[mm] $\dim(Kern(A^{j}))= dim(Kern(A^{j+1})) [/mm] = [mm] \ldots$,
[/mm]
also wegen [mm] $Kern(A^j) \subset Kern(A^{j+1})$ [/mm] mit
[mm] $Kern(A^j) [/mm] = [mm] Kern(A^{j+1}) [/mm] = [mm] \ldots$.
[/mm]
(Beachte: Endlichdimensionale Vektorräume sind gleich, wenn einer in dem anderen enthalten ist und beide die gleiche Dimension besitzen.)
Viele Grüße
Julius
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