Ker(A) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Di 20.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
ich überlege gerade wie ich an die Lösung folgender Aufgabe herangehe:
Aufgabe:
Es ist A gegeben.
A= [mm] \begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&-1&2&-1\\1&-3&2&-2\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimme
a) Ker(A),
b) eine Basis von Bild(A)
_______________________________________________________
Ich weiß:
zu a)
Ich muß das unterbestimmte lineare Gleichungssystem (4 freie Variable, 3 Gleichungen)
[mm] \begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&-1&2&-1\\1&-3&2&-2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{pmatrix}=0
[/mm]
lösen. Ich bekomme eine Parameterlösung.
Aber wie gehe ich mit dem Verktor x um??? Wie ist der zu deuten???
zu b)
b1:
Ich multipliziere den 1. Spaltenvektor von A mit z.B. [mm] e1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} [/mm] und erhalte Vektor1.
Dann den 2. Spaltenvektor von A mit
[mm] e2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} [/mm] und erhalte Vektor2.
Bis zum 4.Spaltenvektor von A mit
[mm] e4=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} [/mm] und erhalte Vektor4.
b2:
Jetzt muß ich überprüfen ob die Vektoren 1 bis 4 linear abhänig sind.
b3:
Wenn z.B. 2 Vektoren lin abh. sind, entferne ich diese aus der Matrix A und gebe den Rest als gesuchte Basis an.
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Wer ist so nett und überprüft diese Gedankengänge?
Für Korrekturen oder weiterführende Gedanken bin ich sehr dankbar.
Gruß
Didi_160
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 20.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich habe gerade einen Fehler in meinem Gedankengang zu a) entdeckt :
Ich muß aus der Matrix
A =[mm]\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&-1&2&-1\\1&-3&2&-2\end{pmatrix}[/mm]
erst eine Stufenformatrix durch Linearkombinationen erzeugen.
Diese lautet bei mir:
A = [mm]\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&-5&2&-3\\0&0&0&0\end{pmatrix}[/mm]
Durch streichen der Zeile mit den Nullen erhalte ich:
A = [mm]\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&-5&2&-3\end{pmatrix}[/mm]
Um auf Ker der Abbildung zu kommen muß das homogene System gelöst werden:
[mm]\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&-5&2&-3\end{pmatrix}[/mm]*y=0
Das LGS ist unterbestimmtund ich erhalte:
y4= [mm] \alpha
[/mm]
y3= [mm] \beta
[/mm]
y2= (5/2)* [mm] \beta-(3/2)*\alpha
[/mm]
y1=-(5/2)* [mm] \beta+(1/2)*\alpha
[/mm]
Liege ich mit dem Gedankengang richtig? Wenn ja, überprüfe bitte mal die Rechnung.
Ist damit Aufgabe a) gelöst????
Eigentlich muß ich nach meiner Vorlesungsmitschrift zeigen/rechnen:
A*x=0
Wie komme ich denn nun noch auf Vektor x ????
Bin für jeden Hinweis dankbar!
Gruß
Didi_160
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 20.06.2006 | | Autor: | piet.t |
>
> zu b)
> b1:
> Ich multipliziere den 1. Spaltenvektor von A mit z.B.
> [mm]e1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und erhalte
> Vektor1.
> Dann den 2. Spaltenvektor von A mit
> [mm]e2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und erhalte
> Vektor2.
> Bis zum 4.Spaltenvektor von A mit
> [mm]e4=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] und erhalte
> Vektor4.
O.K., wir haben jetzt also 4 3er-Vektoren.
>
> b2:
> Jetzt muß ich überprüfen ob die Vektoren 1 bis 4 linear
> abhänig sind.
Sind sie sicher, denn 4 Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] können nicht linear unabhängig sein.
>
> b3:
> Wenn z.B. 2 Vektoren lin abh. sind, entferne ich diese
> aus der Matrix A und gebe den Rest als gesuchte Basis an.
>
Nein! Die Lineare Abhängigkeit der 4 Vektoren kann man (im Allgemeinen) nicht an einem oder zwei Vektoren festmachen - die ganze Menge der 4 Vektoren ist linear abhängig und fertig!
Um auf ein minimales System zu kommen versucht man nun, einen der 4 Vektoren als Linearkombination der anderen 3 darzustellen. Wenn man so einen Vektor gefunden hat, dann streicht man ihn aus der "Basis" (die keine ist, weil ja noch linear abhängig). Dann bleiben noch 3 Vektoren, mit denen man wieder genauso verfährt: lineare abhängigkeit prüfen, ggf. einen durch die anderen Darstellen, dann den wieder weglassen usw. bis man ein linear unabhängiges System von Vektoren hat.
> ___________________________________________________________
> Wer ist so nett und überprüft diese Gedankengänge?
> Für Korrekturen oder weiterführende Gedanken bin ich sehr
> dankbar.
>
> Gruß
> Didi_160
>
Gruß
piet
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 21.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi piet.t
ich komme mit der aufgabe b) noch nicht zurecht:
> >
> > zu b)
> > b1:
Ich multipliziere den 1. Spaltenvektor von A mit z.B.
[mm]e1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und erhalte
Das geht doch gar nicht so!!!! Du bestätigst aber " o.k. wir haben jetzt 4 Stück 3-er Vektoren" . Wie sehen denn die aus???
________________
Bitte notiere auch den Ansatz für die Berechnung der Basis.
Gruß
didi_160
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 21.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Hi piet.t
>
> ich komme mit der aufgabe b) noch nicht zurecht:
>
> > >
> > > zu b)
> > > b1:
> Ich multipliziere den 1. Spaltenvektor von A mit z.B.
> [mm]e1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und erhalte
>
> Das geht doch gar nicht so!!!! Du bestätigst aber " o.k.
> wir haben jetzt 4 Stück 3-er Vektoren" . Wie sehen denn
> die aus???
>
Sorry, da hab ich wieder mal nur die richtigen Stichwörter gelesen, aber irgendwie waren die doch nicht ganz richtig angeordnet....
Was man tun kann ist, die Matrix mit [mm] \vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] usw. zu multiplizieren. Weil diese kanonische Basis den Ausgangsraum aufspannt spannen die zugehörigen Bildvektoren den Bildraum auf (Man könnte auch jede andere Basis des Ausgangsraums nehmen, wenn man denn scharf auf etwas mehr Rechnerei ist). Mit diesen Vektoren hat man das Ergebnis recht schnell: es sind gerade die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix.
> ________________
>
> Bitte notiere auch den Ansatz für die Berechnung der
> Basis.
>
O.K., hier mal der Anfang:
Der Bildraum wird aufgespannt von [mm] v_1=\vektor{1\\2\\1}, v_2=\vektor{2\\-1\\-3}, v_3=\vektor{0\\2\\2} [/mm] und [mm] v_4=\vektor{1\\-1\\-2}, [/mm] das wären also alles Kandidaten für Basisvektoren.
Allerdings ist die Menge ja noch linear abhängig (4 3er-Vektoren), also versuchen wir, einen Vektor durch die anderen auszudrücken.Scharfes Anschauen liefert [mm] v_4=v_1-1,5v_3, [/mm] also kann auf [mm] v_4 [/mm] verzichtet werden. Als neue Basiskandidaten bleiben [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3. [/mm] Allerdings ist auch dieses Sytem noch linear abhängig.
Jetzt darfst Du weitermachen: Suche einen Vektor der entfernt werden kann und prüfe den Rest dann wieder auf lineare Abhängigkeit usw. bis Du ein linear unabhängiges System hast.
> Gruß
> didi_160
Gruß
piet
P.S.: Wenn "scharfes Anschauen" mal nicht weiterhilft kann man den zu eliminierenden Vektor auch durch Anwendung des Gauß-Algorithmus auf die Spalten bestimmen: entsteht eine Nullspalte kann der entsprechende Vektor gestrichen werden.
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