Keinen Grenzwert <-> infty? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Di 11.11.2014 | | Autor: | duduknow |
| Aufgabe | Finden Sie je ein Beispiel für reelle Folgen [mm] (a_n), (b_n) [/mm] mit [mm] \lim a_n [/mm] = 0 und [mm] \lim b_n [/mm] = [mm] +\infty [/mm] mit der Eigenschaft:
2. [mm] \lim a_nb_n [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
4. die Folge [mm] (a_nb_n) [/mm] besitzt keinen Grenzwert |
Hi,
was ist bei dieser Aufgabe der Unterschied zwischen 2. und 4.?
So wie ich es verstanden habe, besitzt eine uneigentlich konvergente Folge keinen Grenzwert und eine Folge ohne Grenzwert kann trotzdem uneigentlich konvergent sein. Dann könnte ich bei beiden Teilaufgaben aber das selbe Beispiel angeben.
Gibt es also einen Unterschied zwischen den beiden gesuchten Beispielen? Besitzt eine Folge wie bei 2. den Grenzwert [mm] +\infty, [/mm] wobei der Grenzwert nach Definition aus [mm] \mathbb{R} [/mm] stammen muss (das wäre also ein Widerspruch dazu)? - und mit 4. ist dann eine Folge wie [mm] (-1)^n [/mm] gemeint, also eine auch nicht uneigentlich konvergente Folge?
Ich bin dankbar, wenn mir jemand etwas Klarheit bietet.
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Finden Sie je ein Beispiel für reelle Folgen [mm](a_n), (b_n)[/mm]
> mit [mm]\lim a_n[/mm] = 0 und [mm]\lim b_n[/mm] = [mm]+\infty[/mm] mit der
> Eigenschaft:
> 2. [mm]\lim a_nb_n[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
> 4. die Folge [mm](a_nb_n)[/mm] besitzt keinen Grenzwert
> Hi,
>
> was ist bei dieser Aufgabe der Unterschied zwischen 2. und
> 4.?
>
> So wie ich es verstanden habe, besitzt eine uneigentlich
> konvergente Folge keinen Grenzwert und eine Folge ohne
> Grenzwert kann trotzdem uneigentlich konvergent sein. Dann
> könnte ich bei beiden Teilaufgaben aber das selbe Beispiel
> angeben.
ich glaube, die zweite Formulierung ist schlecht bzw. ihr sagt vielleicht auch,
dass eine Folge, die gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] strebt, einen Grenzwert hat,
nämlich [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty\,.$
[/mm]
Gefragt ist oben bei der 4. Aufgabe aber sicher, dass
[mm] $(a_n*b_n)_n$ [/mm] keinen Grenzwert in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$
[/mm]
haben soll.
> Gibt es also einen Unterschied zwischen den beiden
> gesuchten Beispielen? Besitzt eine Folge wie bei 2. den
> Grenzwert [mm]+\infty,[/mm] wobei der Grenzwert nach Definition aus
> [mm]\mathbb{R}[/mm] stammen muss (das wäre also ein Widerspruch
> dazu)? - und mit 4. ist dann eine Folge wie [mm](-1)^n[/mm] gemeint,
> also eine auch nicht uneigentlich konvergente Folge?
>
> Ich bin dankbar, wenn mir jemand etwas Klarheit bietet.
zu 4.: Wir setzen
[mm] $a_n:=(-1)^n \frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $(-1)^n*\frac{1}{n}*n=(-1)^n\,,$
[/mm]
d.h. mit [mm] $(b_n)_n:\equiv(n)_n$ [/mm] folgt...? (Frage an Dich: [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] ist divergent, weil...?)
zu 2.:
(Edit: Vorsicht!) Mit gleicher Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] wie oben und dann
[mm] $b_n:=(-1)^n*n^k$ [/mm] mit einem $k [mm] \ge [/mm] ...$
folgt auch...? (Hinweis: Du kannst auch [mm] $k\,$ [/mm] ganz konkret angeben, wenn
Dir das lieber ist!)
(Edit, Hinweis zur Rotmarkierung: Ich habe eben nicht aufgepasst, in dem
Bsp. oben ist [mm] $b_n \to \infty$ [/mm] nicht erfüllt. Aber das bekommst Du dennoch
sicher *leicht repariert*; jedenfalls sollte das spätestens nach dem Lesen
des P.S. der Fall sein, wie ich denke!)
P.S. Wenn Dir das lieber ist, kannst Du für 2. auch erst an [mm] $(a_n)_n$ [/mm] *etwas drehen*
und musst dann [mm] $(b_n)_n$ [/mm] auch entsprechend anpassen.
P.P.S. Auch etwa die unbeschränkte Folge
[mm] $\left((-1)^n *\frac{1}{n}\right)*n^2$
[/mm]
hätte keinen Grenzwert in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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