Keine lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Mi 30.11.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich suche ein möglichst einfaches Beispiel für eine Funktion [m]f:\IR^n\to \IR^m[/m] mit [m]f(x+y-90f(x)+f(y)\forall x,y[/m], die aber [m]f(\alpha x)=\alpha f(x)[/m] verletzt (Für [m]\alpha \in \IR[/m]. Die Betonung liegt hier aufeinfach und dem Rausziehen bezüglich reller Zahlen (dies ist für meine Tutorgruppe, btw), denn: Eine Hammelbnasis des [m]·\IQ[/m]-Vektorraums [m]\IR[/m] nehmen und dann entsprechend fortsetzen geht - ist aber weit über den Stoff hinaus. Genauso könnte ich [m]\IC-[/m]Linearität nehmen und den Konjugationsautomorphismus - blos hatten sie keine komplexen Zahlen oder was anderes als [m]\IR-[/m]Vektorräume. Ich bezweifle ein wenig, dass ich da etwas einfaches finde (also mit elementaren Methoden nachvollziehbar).
SEcki
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Eigentlich sollte das eine Antwort sein, aber x Versuche, diese Antwort loszuschicken, sind leider fehlgeschlagen. Ich wurde gnadenlos hinausgeworfen. Und als ich wieder drin war, hieß es, ich würde die Frage gerade selbst beantworten. Witzig!
Die Funktionalgleichung [mm]f(x+y) = f(x) + f(y)[/mm] impliziert ja [mm]f(\lambda x) = \lambda f(x)[/mm] für alle [mm]\lambda \in \mathbb{Q}[/mm] (Beweis über den Aufbau des Zahlsystems: [mm]n=0[/mm], [mm]n=1[/mm], Induktion, [mm]n \in \mathbb{N}[/mm], [mm]n \in - \mathbb{N}[/mm], [mm]\lambda = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}[/mm]). Da [mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm] liegt, wirst du deinen Wunsch also nur bei grober Verletzung der Stetigkeit erfüllen können. Übrigens ist auch die komplexe Konjugation im [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum [mm]\mathbb{C}[/mm] stetig und erfüllt [mm]\overline{\lambda z} = \lambda \overline{z}[/mm] für [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mi 30.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die Funktionalgleichung [mm]f(x+y) = f(x) + f(y)[/mm] impliziert ja
> [mm]f(\lambda x) = \lambda f(x)[/mm] für alle [mm]\lambda \in \mathbb{Q}[/mm]
Ja, ich weiß.
> Da [mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm] liegt, wirst du deinen
> Wunsch also nur bei grober Verletzung der Stetigkeit
> erfüllen können.
Sicher - überall unstetig. Das ist aber kein Widerspruch zu meinem Wunsch - es soll einfach definierbar sein, wie die charakteristisceh Funktion der rationalen Zahlen (die auch grob unstetig ist), und bei der kann man auch schnell sehen, das sie nicht linear ist ...
> Übrigens ist auch die komplexe Konjugation
> im [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum [mm]\mathbb{C}[/mm] stetig und erfüllt
> [mm]\overline{\lambda z} = \lambda \overline{z}[/mm] für [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm].
Ja und? Sie ist aber nicht [m]\IC-[/m]linear, das ist der Punkt. Wir haben ja oben gesehen (bzw. beide gewusst  ), dass alle solchen Abbildungen ja eh schon [m]\IQ-[/m]linear sind. Und hier haben wir halt [m]\IR-[/m]Linearität, also nicht ganz was ich suche, das stimmt schon.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Do 01.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> [m]\IR-[/m]Vektorräume. Ich bezweifle ein wenig, dass ich da etwas
> einfaches finde (also mit elementaren Methoden
> nachvollziehbar).
das denke ich auch. Ohne Auswahlaxiom oder mit anderen Koerpern gehts nicht...
LG Felix
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